loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 55 trang 117 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Bài giải này được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những tài liệu học tập chất lượng nhất, hỗ trợ học sinh học tập hiệu quả. Hãy cùng loigiai.com.vn khám phá lời giải bài 55 này nhé!
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính:
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tính:
a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
b) Số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
c) Tang của góc giữa đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(C'D\) và \(BC\).
e*) Góc giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Ta sẽ chỉ ra \(AA'\) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
b) Ta chứng minh \(\widehat {ADA'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
c) Ta chứng minh \(\widehat {DBD'}\) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Do đó, ta cần tính \(\tan \widehat {DBD'}\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(DC'\) và \(D'C\). Chứng minh rằng \(IC\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(BC\) và \(DC'\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(IC\).
e*) Chỉ ra rằng do \(AD'\parallel BC'\) nên góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) băng góc giữa \(AD'\) và \(CD'\), và bằng góc \(\widehat {AD'C}\).
Lời giải chi tiết
a) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\). Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) cũng bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), và bằng \(AA'\).
Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\), nên ta có \(AA' = a\).
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \(a\).
b) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(AD \bot CD\), \(CD \bot \left( {DAA'D'} \right)\) và \(ADD'A'\) là hình vuông.
Ta nhận xét rằng \(A'D\parallel B'C\), và \(CD \bot A'D\) (do \(CD \bot \left( {DAA'D'} \right)\)), cùng với \(AD \bot CD\), ta suy ra \(\widehat {ADA'}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\).
Vì \(ADD'A'\) là hình vuông nên \(\widehat {ADA'} = {45^o}\).
Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,CD,B'} \right]\) bằng \({45^o}\).
c) Do \(D\) là hình chiếu của \(D'\) trên \(\left( {ABCD} \right)\), nên \(\widehat {DBD'}\) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), nên ta có \(BD = a\sqrt 2 \).
Ta có \(\tan \widehat {DBD'} = \frac{{DD'}}{{BD}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (tam giác \(DBD'\) vuông tại \(D\))
Vậy tang của góc tạo bởi đường thẳng \(BD'\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(DC'\) và \(D'C\). Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên \(DCC'D'\) là hình vuông, suy ra \(IC \bot DC'\).
Mặt khác, cũng do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta suy ra \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), điều này dẫn tới \(IC \bot BC\).
Như vậy, ta có \(IC\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(BC\) và \(DC'\), tức khoảng cách giữa \(BC\) và \(DC'\) là đoạn thẳng \(IC\).
Do \(DCC'D'\) là hình vuông cạnh \(a\), nên \(D'C = a\sqrt 2 \Rightarrow IC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy khoảng cách giữa \(BC\) và \(DC'\) là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
e*) Do \(AD'\parallel BC'\) nên góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) băng góc giữa \(AD'\) và \(CD'\), tức là góc \(\widehat {AD'C}\).
Tam giác \(AD'C\) có \(AD' = D'C = AC\) (do đều là mỗi đường chéo của các mặt trong hình lập phương) nên tam giác \(AD'C\) đều. Suy ra \(\widehat {AD'C} = {60^o}\).
Vậy góc giữa \(BC'\) và \(CD'\) bằng \({60^o}\).
Bài 55 trang 117 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng để giải quyết các bài toán hình học không gian.
Bài 55 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải quyết bài tập trong bài 55, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
(Giả sử bài 55 có nội dung cụ thể như sau: Cho hai đường thẳng d1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d2: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.)
Giải:
Để chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau, ta cần chứng minh rằng chúng không song song và không cắt nhau.
Bước 1: Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song hay không.
Vectơ chỉ phương của d1 là a = (1, -1, 2). Vectơ chỉ phương của d2 là b = (-1, 1, -1). Ta thấy a và b không cùng phương, do đó hai đường thẳng d1 và d2 không song song.
Bước 2: Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không.
Giả sử hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm I(x0, y0, z0). Khi đó, tồn tại t0 và s0 sao cho:
Giải hệ phương trình này, ta được:
Từ phương trình thứ nhất: t0 + s0 = 1
Từ phương trình thứ hai: t0 - s0 = 1
Cộng hai phương trình trên, ta được: 2t0 = 2 => t0 = 1
Thay t0 = 1 vào phương trình t0 + s0 = 1, ta được: s0 = 0
Kiểm tra với phương trình thứ ba: 3 + 2(1) = 5 và 4 - 0 = 4. Vì 5 ≠ 4, nên hệ phương trình vô nghiệm. Do đó, hai đường thẳng d1 và d2 không cắt nhau.
Kết luận: Vì hai đường thẳng d1 và d2 không song song và không cắt nhau, nên chúng chéo nhau.
Khi giải các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, học sinh cần chú ý:
Bài 55 trang 117 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày ở trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
