Bài 59 trang 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 59 trang 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và tự tin làm bài tập.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\).
Đề bài
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\).
a) Chứng minh răng \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), \(BD' \bot C'D\) và \(\left( {BC'D} \right) \bot \left( {BCD'} \right)\).
b) Tính góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(A'D'\).
c) Tính góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {CDD'C'} \right)\).
d) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\).
e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD'} \right)\).
g) Chứng minh \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\) và tính khoảng cách giữa đường thẳng \(B'C'\) và mặt phẳng \(\left( {BCD'} \right)\).
h) Tính thể tích của khối tứ diện \(C'BCD\) và tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng bất kỳ cắt nhau trong mặt phẳng.
Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chỉ là 1 đường thẳng nằm trên mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Chỉ ra \(AD\parallel A'D'\), nên góc giữa \(BD\) và \(A'D'\) cũng bằng góc giữa \(BD\) và \(AD\), và bằng \(\widehat {ADB}\).
c) Ta chứng minh \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), do đó góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\) là góc \(\widehat {BDC}\).
d) Ta chứng minh \(\widehat {BDC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\).
e) Gọi \(I\) là giao điểm của \(D'C\) và \(DC'\). Theo câu a, ta có \(DI \bot \left( {BCD'} \right)\), từ đó suy ra khoảng cách từ \(D\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) là đoạn thẳng \(DI\).
g) Để chứng minh \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\), ta chứng minh \(B'C'\) song song với một đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( {BCD'} \right)\). Do \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\) nên khoảng cách giữa \(B'C'\) và \(\left( {BCD'} \right)\) bằng khoảng cách từ \(C'\) đến \(\left( {BCD'} \right)\).
Theo câu a, ta có \(IC' \bot \left( {BCD'} \right)\), từ đó suy ra \(C'I\) chính là khoảng cách cần tìm.
h) Công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}Sh\), với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao của khối chóp đó.
Do \(CC' \bot \left( {BCD} \right)\) nên thể tích tứ diện \(C'BCD\) là \(V = \frac{1}{3}CC'.{S_{BCD}}\).
Do thể tích tứ diện \(C'BCD\) cũng có thể được tính bằng công thức \(V = \frac{1}{3}{d_{C,\left( {BC'D} \right)}}.{S_{BC'D}}\), ta suy ra \({d_{C,\left( {BC'D} \right)}} = \frac{{3V}}{{{S_{BC'D}}}}\).
Lời giải chi tiết
a) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), điều này suy ra \(BC \bot C'D\).
Vì \(DCC'D'\) là hình vuông, nên ta có \(C'D \bot CD'\).
Vậy ta có \(BC \bot C'D\), \(C'D \bot CD'\) nên ta có \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\). Ta có điều phải chứng minh.
Do \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), ta suy ra \(BD' \bot C'D\).
Do \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), mà \(C'D \subset \left( {BC'D} \right)\),ta suy ra \(\left( {BC'D} \right) \bot \left( {BCD'} \right)\).
b) Dễ thấy rằng do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta có \(AD\parallel A'D'\), nên góc giữa \(BD\) và \(A'D'\) cũng bằng góc giữa \(BD\) và \(AD\), và bằng \(\widehat {ADB}\).
Do \(ABCD\) là hình vuông, nên \(\widehat {ADB} = {45^o}\).
Vậy góc giữa \(BD\) và \(A'D'\) bằng \({45^o}\).
c) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, nên ta có \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\). Điều này suy ra \(C\) là hình chiếu của \(B\) trên \(\left( {DCC'D'} \right)\). Như vậy, góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\) là góc \(\widehat {BDC}\).
Do \(ABCD\) là hình vuông, nên \(\widehat {BDC} = {45^o}\).
Vậy góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {DCC'D'} \right)\) bằng \({45^o}\).
d) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta suy ra \(DD' \bot \left( {ABCD} \right)\). Điều này dẫn tới \(DD' \bot BD\) và \(DD' \bot CD\). Vậy \(\widehat {BDC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\). Theo câu c, ta có \(\widehat {BDC} = {45^o}\). Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,DD',C} \right]\) bằng \({45^o}\).
e) Gọi \(I\) là giao điểm của \(D'C\) và \(DC'\). Theo câu a, ta có \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), nên \(DI \bot \left( {BCD'} \right)\). Vậy khoảng cách từ \(D\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) là đoạn thẳng \(DI\).
Vì \(DCC'D'\) là hình vuông cạnh \(a\), ta suy ra \(C'D = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \). Suy ra \(DI = C'I = \frac{{C'D}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy khoảng cách từ \(D\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
g) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta suy ra \(B'C'\parallel BC\).
Mà \(BC \subset \left( {BCD} \right)\) nên ta suy ra \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\).
Vì \(B'C'\parallel \left( {BCD'} \right)\), nên khoảng cách giữa \(B'C'\) và \(\left( {BCD'} \right)\) cũng bằng khoảng cách từ \(C'\) đến \(\left( {BCD'} \right)\).
Theo câu a, ta có \(C'D \bot \left( {BCD'} \right)\), điều này cũng có nghĩa \(C'I \bot \left( {BCD'} \right)\), tức khoảng cách từ \(C'\) đến \(\left( {BCD'} \right)\) là đoạn thẳng \(C'I\). Mà theo câu e, vì \(C'I = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), ta kết luận rằng khoảng cách giữa \(B'C'\) và \(\left( {BCD'} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
h) Do \(CC' \bot \left( {BCD} \right)\) nên thể tích tứ diện \(C'BCD\) là
\(V = \frac{1}{3}CC'.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}CC'.\frac{{BC.CD}}{2} = \frac{{a.a.a}}{6} = \frac{{{a^3}}}{6}\).
Tam giác \(BC'D\) có \(BC' = C'D = BD = a\sqrt 2 \) (do chúng đều là đường chéo của các mặt của hình lập phương) nên tam giác đó đều.
Diện tích tam giác \(BC'D\) bằng \({S_{BC'D}} = \frac{{B{D^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Vì thể tích tứ diện \(C'BCD\) cũng có thể được tính bằng công thức \(V = \frac{1}{3}{d_{C,\left( {BC'D} \right)}}.{S_{BC'D}}\), ta suy ra \({d_{C,\left( {BC'D} \right)}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}}}{6}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Bài 59 trang 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm định nghĩa, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Bài tập 59 yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số lượng giác và hàm hợp. Cụ thể, bài tập đưa ra một số hàm số có dạng y = f(x), trong đó f(x) là một hàm số lượng giác hoặc hàm hợp của các hàm số lượng giác. Học sinh cần sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm y' của các hàm số này.
Để giải bài tập 59, học sinh có thể thực hiện theo các bước sau:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1).
Giải:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y' = cos(2x + 1) * (2x + 1)' = cos(2x + 1) * 2 = 2cos(2x + 1).
Ngoài bài tập 59, sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều còn có nhiều bài tập tương tự về đạo hàm của hàm số lượng giác và hàm hợp. Để giải các bài tập này, học sinh cần luyện tập thường xuyên và nắm vững các quy tắc tính đạo hàm. Một số phương pháp giải bài tập đạo hàm thường được sử dụng bao gồm:
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế, bao gồm:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài 59 trang 119 sách bài tập Toán 11 - Cánh Diều, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về đạo hàm và tự tin làm bài tập.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
