Lý thuyết Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông Toán 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông Toán 9 Chân trời sáng tạo

Trong hình học, tam giác vuông đóng vai trò quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán thực tế. Việc nắm vững các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông là nền tảng để giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết này theo chương trình Toán 9 Chân trời sáng tạo.

1. Các khái niệm cơ bản

Tam giác vuông: Là tam giác có một góc bằng 90 độ. Cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền, hai cạnh còn lại là cạnh góc vuông.

Góc nhọn: Là góc có số đo nhỏ hơn 90 độ.

Góc tù: Là góc có số đo lớn hơn 90 độ.

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. Gọi AB = c, AC = b, BC = a.

• Sin của góc B (sin B): Là tỉ số giữa cạnh đối diện góc B (AC) và cạnh huyền (BC). sin B = b/a
• Cos của góc B (cos B): Là tỉ số giữa cạnh kề góc B (AB) và cạnh huyền (BC). cos B = c/a
• Tan của góc B (tan B): Là tỉ số giữa cạnh đối diện góc B (AC) và cạnh kề góc B (AB). tan B = b/c
• Cot của góc B (cot B): Là tỉ số giữa cạnh kề góc B (AB) và cạnh đối diện góc B (AC). cot B = c/b

Lưu ý: sin B = cos (90° - B), tan B = cot (90° - B)

3. Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

a) Hệ thức cạnh - góc:

• b = a * sin B
• c = a * cos B
• b = c * tan B
• c = b * cot B

b) Định lý Pytago: a² = b² + c²

c) Các hệ thức lượng khác:

• b² = a * AD (với AD là đường cao hạ từ A xuống BC)
• c² = a * BD
• h² = BD * DC (với h là đường cao AD)
• 1/h² = 1/b² + 1/c²

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính AC và sin B, cos B, tan B.

Giải:

1. Áp dụng định lý Pytago: AC = √(BC² - AB²) = √(5² - 3²) = 4cm
2. sin B = AC/BC = 4/5
3. cos B = AB/BC = 3/5
4. tan B = AC/AB = 4/3

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 60°. AB = 5cm. Tính AC và BC.

Giải:

1. tan B = AC/AB => AC = AB * tan 60° = 5 * √3 cm
2. cos B = AB/BC => BC = AB/cos 60° = 5/(1/2) = 10cm

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính BC, sin B, cos B, tan B.
• Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc C = 30°, BC = 10cm. Tính AB, AC, sin C, cos C, tan C.

6. Kết luận

Lý thuyết Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9. Việc nắm vững các khái niệm, công thức và cách áp dụng chúng vào giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng vào thực tế.