Bài 2.32 trang 40 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 2.32 trang 40, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (\({u_n}\)) sau
Đề bài
Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (\({u_n}\)) sau
A. \({u_n} = 1 - {n^2}\)
B. \({u_n} = {2^n}\)
C. \({u_n} = n\sin n\)
D. \({u_n} = \frac{{2n}}{{n + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh \(m \le {u_n} \le M\).
Lời giải chi tiết
Đáp án D.
\({u_n} = \frac{{2n}}{{n + 1}} = \frac{{2n + 2 - 2}}{{n + 1}} = 2 - \frac{2}{{n + 1}}\)
\(\begin{array}{l}n > 0 \Rightarrow \frac{2}{{n + 1}} > 0 \Rightarrow - \frac{2}{{n + 1}} < 0 \Rightarrow 2 - \frac{2}{{n + 1}} < 2\\n \ge 1 \Rightarrow n + 1 \ge 2 \Rightarrow \frac{2}{{n + 1}} \le 1 \Rightarrow - \frac{2}{{n + 1}} \ge - 1 \Rightarrow 2 - \frac{2}{{n + 1}} \ge 1\end{array}\)
Vậy \(1 \le {u_n} \le 2\) nên dãy số bị chặn.
Bài 2.32 trang 40 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta xét tính đơn điệu của dãy số. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững định nghĩa về dãy số tăng, dãy số giảm, và các điều kiện để một dãy số là tăng hoặc giảm.
Đề bài:
Cho dãy số (un) xác định bởi:
u1 = 3
un+1 = 2un - 1
a) Chứng minh rằng dãy số (un) là dãy số tăng.
b) Tìm công thức tổng quát của dãy số (un).
Lời giải:
a) Chứng minh dãy số (un) là dãy số tăng.
Để chứng minh dãy số (un) là dãy số tăng, ta cần chứng minh un+1 > un với mọi n ≥ 1.
Ta có:
un+1 - un = (2un - 1) - un = un - 1
Vì u1 = 3 > 1, và nếu un > 1 thì un+1 = 2un - 1 > 2(1) - 1 = 1. Do đó, un > 1 với mọi n ≥ 1.
Suy ra un+1 - un = un - 1 > 0, vậy un+1 > un với mọi n ≥ 1.
Kết luận: Dãy số (un) là dãy số tăng.
b) Tìm công thức tổng quát của dãy số (un).
Ta có:
u1 = 3
u2 = 2u1 - 1 = 2(3) - 1 = 5
u3 = 2u2 - 1 = 2(5) - 1 = 9
u4 = 2u3 - 1 = 2(9) - 1 = 17
Nhận thấy:
u1 = 22 - 1
u2 = 23 - 1
u3 = 24 - 1
u4 = 25 - 1
Dự đoán công thức tổng quát của dãy số (un) là: un = 2n+1 - 1
Ta sẽ chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp.
Bước 1: Kiểm tra với n = 1
u1 = 21+1 - 1 = 22 - 1 = 4 - 1 = 3 (đúng với u1 = 3)
Bước 2: Giả sử công thức đúng với n = k
Giả sử uk = 2k+1 - 1
Bước 3: Chứng minh công thức đúng với n = k+1
Ta cần chứng minh uk+1 = 2(k+1)+1 - 1 = 2k+2 - 1
Ta có:
uk+1 = 2uk - 1 = 2(2k+1 - 1) - 1 = 2k+2 - 2 - 1 = 2k+2 - 3
Có vẻ như có một sai sót trong tính toán. Hãy xem xét lại:
un+1 = 2un - 1
Đặt vn = un - 1. Khi đó un = vn + 1
vn+1 + 1 = 2(vn + 1) - 1
vn+1 + 1 = 2vn + 2 - 1
vn+1 = 2vn
Vậy (vn) là một cấp số nhân với công bội q = 2 và v1 = u1 - 1 = 3 - 1 = 2
Suy ra vn = v1 * qn-1 = 2 * 2n-1 = 2n
Do đó un = vn + 1 = 2n + 1
Kiểm tra lại:
u1 = 21 + 1 = 3
u2 = 22 + 1 = 5
u3 = 23 + 1 = 9
u4 = 24 + 1 = 17
Vậy công thức tổng quát của dãy số (un) là: un = 2n + 1
Kết luận:
a) Dãy số (un) là dãy số tăng.
b) Công thức tổng quát của dãy số (un) là: un = 2n + 1
Hy vọng lời giải này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về bài tập 2.32 trang 40 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức. Chúc các bạn học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
