Giải Bài 7.52 Trang 43 Sách Bài Tập Toán 11 - Kết Nối Tri Thức

Giải bài 7.52 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 7.52 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Bài 7.52 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết.

Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 7.52 trang 43, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot (ABCD)\) biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và \(SA = a\sqrt 2 \)

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot (ABCD)\) biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và \(SA = a\sqrt 2 \)

a) Chứng minh rằng\((SAC) \bot (SBD)\) và \((SAD) \bot (SCD)\)

b) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh \((ACF) \bot (SBC)\) và \((AEF) \bot (SAC)\)

c) Tính theo a khoản cách giữa hai đường thẳng BD và SC

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 7.52 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống 1

a) Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) từ đó suy ra \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

b) Chứng minh \(AF \bot \left( {SBC} \right)\) từ đó suy ra \(\left( {ACF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

Chứng minh \(SC \bot \left( {AEF} \right)\) suy ra \(\left( {AEF} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

c) Dựng đoạn vuông góc chung của \(BD\) và \(SC\),

Tính độ dài đoạn vuông góc chung của \(BD\) và \(SC\),

Lời giải chi tiết

Giải bài 7.52 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống 2

a) Ta có: \(BD \bot AC,SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BD\), suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\), mà mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) chứa đường thẳng \(BD\), do đó \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

Ta có: \(CD \bot AD,CD \bot SA\), suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right)\), mà mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) chứa đường thẳng \(CD\), do đó \(\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Ta có: \(AD \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(AD \bot SB\), mà \(SB \bot DF\) suy ra \(SB \bot \left( {ADF} \right)\), do đó

\(SB \bot AF\).

Ta lại có \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AF\), suy ra \(AF \bot \left( {SBC} \right)\), mà mặt phẳng \(\left( {ACF} \right)\) chứa đường thẳng \(AF\) nên \(\left( {ACF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

Vì \(AF \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(AF \bot SC\).

Tương tự, ta có \(AE \bot \left( {SCD} \right)\) nên \(AE \bot SC\), suy ra \(SC \bot \left( {AEF} \right)\), mà mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) chứa đường thẳng \(SC\) nên \(\left( {AEF} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), kẻ \(OH \bot SC\) tại \(H\), mà \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(OH \bot BD\), suy ra \(OH\) là đoạn vuông góc chung của \(BD\) và \(SC\), hay \(d\left( {BD,SC} \right) = OH\)

Ta có: \(\Delta CHO\) đồng dạng với \(\Delta CAS\) nên \(\frac{{OC}}{{CS}} = \frac{{OH}}{{AS}}\), suy ra \(OH = \frac{{AS \cdot OC}}{{CS}} = \frac{a}{2}\).

Vậy \(d\left( {BD,SC} \right) = \frac{a}{2}\).

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Giải bài 7.52 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Ôn tập Toán lớp 11 trên nền tảng đề thi toán của chúng tôi! Bộ toán trung học phổ thông bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Giải bài 7.52 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 7.52 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta giải quyết một bài toán liên quan đến vectơ trong không gian. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:

Định nghĩa vectơ: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối.
Các phép toán vectơ: Cộng, trừ, nhân với một số thực.
Tích vô hướng của hai vectơ: a.b = |a||b|cos(θ), với θ là góc giữa hai vectơ.
Ứng dụng của vectơ trong hình học: Chứng minh tính chất hình học, giải bài toán về khoảng cách, diện tích, thể tích.

Nội dung bài toán: (Giả sử bài toán cụ thể là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ: Đặt A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a).
Tìm vectơ SC: SC = (a;a;-a).
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD): n = (0;0;1).
Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD): Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SC và hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD). Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD), suy ra H(0;0;0). Khi đó, góc cần tìm là góc giữa SC và AC.
Tính cosin của góc: cos(θ) = (SC.AC) / (|SC||AC|). AC = (a;a;0), |SC| = a√3, |AC| = a√2. SC.AC = a² + a² = 2a². Vậy cos(θ) = (2a^{2}) / (a√3 * a√2) = 2 / √(6) = √6 / 3.}
Kết luận: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là arccos(√6 / 3).

Lưu ý:

Việc chọn hệ tọa độ phù hợp là rất quan trọng để đơn giản hóa bài toán.
Nắm vững các công thức tính tích vô hướng, góc giữa hai vectơ và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Thực hành nhiều bài tập tương tự để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Các bài tập tương tự:

Giải bài 7.53 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức.
Giải bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức.
Tìm hiểu thêm về ứng dụng của vectơ trong không gian.

Loigiai.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 7.52 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!