Giải mục 5 trang 11, 12 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

a) Sử dụng máy tính cầm tay, hoàn thành bảng sau vào vở (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).

b) Từ kết quả quả ở câu a, có dự đoán gì về tính chất của phép tính luỹ thừa với số mũ thực?

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay.

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}{a^\alpha }.{a^\beta } = {3^{\sqrt 2 }}{.3^{\sqrt 3 }} \approx 31,70659\\{a^\alpha }:{a^\beta } = {3^{\sqrt 2 }}:{3^{\sqrt 3 }} \approx 0,70527\\{a^{\alpha + \beta }} = {3^{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} \approx 31,70659\\{a^{\alpha - \beta }} = {3^{\sqrt 2 - \sqrt 3 }} \approx 0,70527\end{array}\)

b) Ta thấy: \({a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }},{a^\alpha }:{a^\beta } = {a^{\alpha - \beta }}\).

Ta dự đoán tính chất của phép tính luỹ thừa với số mũ thực có tính chất tương tự với phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên.

Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa \(\left( {a > 0} \right)\):

a) \({a^{\frac{3}{5}}}.{a^{\frac{1}{2}}}:{a^{ - \frac{2}{5}}}\);

b) \(\sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt a } } \).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của phép tính luỹ thừa với số mũ thực.

Lời giải chi tiết:

a) \({a^{\frac{3}{5}}}.{a^{\frac{1}{2}}}:{a^{ - \frac{2}{5}}} = {a^{\frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \left( { - \frac{2}{5}} \right)}} = {a^{\frac{3}{2}}}\)

b) \(\sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt a } } = \sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{1}{2}}}} } = \sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt {{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}} } = \sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt a } = \sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{1}{2}}}} = \sqrt a \).

Rút gọn biểu thức: \({\left( {{x^{\sqrt 2 }}y} \right)^{\sqrt 2 }}\left( {9{y^{ - \sqrt 2 }}} \right)\) (với \(x,y > 0\)).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của phép tính luỹ thừa với số mũ thực.

Lời giải chi tiết:

\({\left( {{x^{\sqrt 2 }}y} \right)^{\sqrt 2 }}\left( {9{y^{ - \sqrt 2 }}} \right) = {\left( {{x^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 2 }}{y^{\sqrt 2 }}.9{y^{ - \sqrt 2 }} = 9{x^{\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{y^{\sqrt 2 + \left( { - \sqrt 2 } \right)}} = 9{x^2}{y^0} = 9{x^2}\)

Tại một vùng biển, giả sử cường độ ánh sáng \(I\) thay đổi theo độ sâu theo công thức \(I = {I_0}{.10^{ - 0,3{\rm{d}}}}\), trong đó \(d\) là độ sâu (tính bằng mét) so với mặt hồ, \({I_0}\) là cường độ ánh sáng tại mặt hồ.

a) Tại độ sâu 1 m, cường độ ánh sáng gấp bao nhiều lần \({I_0}\)?

b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 2 m gấp bao nhiêu lần so với tại độ sâu 10 m? Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân.

Phương pháp giải:

Thay \(d\) bằng các giá trị cụ thể rồi tính.

Lời giải chi tiết:

a) Với \(d = 1\) ta có: \(I = {I_0}{.10^{ - 0,3.1}} = {I_0}{.10^{ - 0,3}}\).

Vậy tại độ sâu 1 m, cường độ ánh sáng gấp \({10^{ - 0,3}}\) lần \({I_0}\).

b) Với \(d = 2\) ta có: \(I = {I_0}{.10^{ - 0,3.2}} = {I_0}{.10^{ - 0,6}}\).

Với \(d = 10\) ta có: \(I = {I_0}{.10^{ - 0,3.10}} = {I_0}{.10^{ - 3}}\).

Vậy cường độ ánh sáng tại độ sâu 2 m gấp cường độ ánh sáng tại độ sâu 10 m số lần là:

\(\left( {{I_0}{{.10}^{ - 0,6}}} \right):\left( {{I_0}{{.10}^{ - 3}}} \right) = {10^{ - 0,6}}:{10^{ - 3}} = {10^{ - 0,6 - \left( { - 3} \right)}} = {10^{2,4}} \approx 251,19\) (lần)