Bài 4 trang 141 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B được cho ở biểu đồ dưới đây (đơn vị: kg).

a) Hãy so sánh cân nặng của lợn con mới sinh giống A và giống B theo số trung bình và trung vị.

b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống A và của cân nặng lợn con mới sinh giống B.

Lời giải chi tiết

Ta có số liệu thống kê cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B như sau:

• Tổng số lợn con giống A là: \(n = 8 + 28 + 32 + 17 = 85\)

Cân nặng trung bình của lợn con giống A là:

\(\bar x = \frac{{8.1,05 + 28.1,15 + 32.1,25 + 17.1,35}}{{85}} \approx 1,22\left( {kg} \right)\)

Nhóm chứa số trung vị của giống A là: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array}\)

Ta có: \(n = 85;{n_m} = 32;C = 8 + 28 = 36;{u_m} = 1,2;{u_{m + 1}} = 1,3\)

Trung vị của cân nặng của lợn con giống A là:

\({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,2 + \frac{{\frac{{85}}{2} - 36}}{{32}}.\left( {1,3 - 1,2} \right) \approx 1,22\left( {kg} \right)\)

• Tổng số lợn con giống B là: \(n = 13 + 14 + 24 + 14 = 65\)

Cân nặng trung bình của lợn con giống B là:

\(\bar x = \frac{{13.1,05 + 14.1,15 + 24.1,25 + 14.1,35}}{{65}} = 1,21\left( {kg} \right)\)

Nhóm chứa số trung vị của giống B là: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array}\)

Ta có: \(n = 65;{n_m} = 24;C = 13 + 14 = 27;{u_m} = 1,2;{u_{m + 1}} = 1,3\)

Trung vị của cân nặng của lợn con giống B là:

\({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,2 + \frac{{\frac{{65}}{2} - 27}}{{24}}.\left( {1,3 - 1,2} \right) \approx 1,22\left( {kg} \right)\)

Vậy số cân nặng trung bình của giống A lớn hơn giống B, số trung vị của giống A và giống B xấp xỉ bằng nhau.

b)

• Giống A

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{85}}\) là cân nặng của các con lợn con được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\({x_1},...,{x_8} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,0;1,1} \right)}\end{array}}\end{array};{x_9},...,{x_{36}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,1;1,2} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array};{x_{37}},...,{x_{68}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array};{x_{69}},...,{x_{85}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,3;1,4} \right)}\end{array}\)

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right)\).

Ta có: \(n = 85;{n_m} = 28;C = 8;{u_m} = 1,1;{u_{m + 1}} = 1,2\)

Do \({x_{21}},{x_{22}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,1;1,2} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,1 + \frac{{\frac{{85}}{4} - 8}}{{28}}.\left( {1,2 - 1,1} \right) \approx 1,15\)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{64}} + {x_{65}}} \right)\).

Ta có: \(n = 85;{n_j} = 32;C = 8 + 28 = 34;{u_j} = 1,2;{u_{j + 1}} = 1,3\)

Do \({x_{64}},{x_{65}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 1,2 + \frac{{\frac{{3.85}}{4} - 34}}{{32}}.\left( {1,3 - 1,2} \right) \approx 1,29\)

• Giống B

Gọi \({y_1};{y_2};...;{y_{65}}\) là cân nặng của các con lợn con được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\({y_1},...,{y_{13}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,0;1,1} \right)}\end{array}}\end{array};{y_{14}},...,{y_{27}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,1;1,2} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array};{y_{28}},...,{y_{51}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array};{y_{52}},...,{y_{65}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,3;1,4} \right)}\end{array}\)

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{y_{16}} + {y_{17}}} \right)\).

Ta có: \(n = 65;{n_m} = 14;C = 13;{u_m} = 1,1;{u_{m + 1}} = 1,2\)

Do \({y_{16}},{y_{17}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,1;1,2} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,1 + \frac{{\frac{{65}}{4} - 13}}{{14}}.\left( {1,2 - 1,1} \right) \approx 1,12\)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{y_{49}} + {y_{50}}} \right)\).

Ta có: \(n = 65;{n_j} = 24;C = 13 + 14 = 27;{u_j} = 1,2;{u_{j + 1}} = 1,3\)

Do \({y_{49}},{y_{50}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 1,2 + \frac{{\frac{{3.65}}{4} - 27}}{{24}}.\left( {1,3 - 1,2} \right) \approx 1,29\)