Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SO\). Mặt phẳng \(\left( {ICD} \right)\) cắt \(SA,SB\) lần lượt tại \(M,N\).

a) Hãy nói cách xác định hai điểm \(M\) và \(N\). Cho \(AB = a\). Tính \(MN\) theo \(a\).

b) Trong mặt phẳng \(\left( {CDMN} \right)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM\). Chứng minh \(SK\parallel BC\parallel AD\).

Lời giải chi tiết

a) • Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\M \in SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAC} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\I \in SO \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAC} \right)\\C \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAC} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow M,I,C\) thẳng hàng.

Do đó \(M\) là giao điểm của \(IC\) và \(SA\).

• Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}N \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\N \in SB \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow N \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\I \in SO \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\D \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow N,I,D\) thẳng hàng.

Do đó \(N\) là giao điểm của \(I{\rm{D}}\) và \(SB\).

• Ta có:

\(\begin{array}{l}AB = \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\C{\rm{D}} = \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\MN = \left( {SAB} \right) \cap \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\AB\parallel C{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(AB\parallel C{\rm{D}}\parallel MN\).

Áp dụng định lí Medelaus cho tam giác \(SOA\) với cát tuyến \(CIM\), ta có:

\(\frac{{SM}}{{MA}}.\frac{{AC}}{{OC}}.\frac{{OI}}{{SI}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}}.2.1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}} = \frac{1}{2}\)

Xét tam giác \(SAB\) có \(MN\parallel AB\). Theo định lí Thales ta có:

\(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow MN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}BC = \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\SK = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD\parallel BC\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(SK\parallel BC\parallel A{\rm{D}}\).