Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến giới hạn của hàm số. Bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức về khái niệm giới hạn và các tính chất của giới hạn.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh tự học hiệu quả và nắm vững kiến thức.
Tính các giá trị lượng giác của góc 2(alpha ), biết:
Đề bài
Tính các giá trị lượng giác của góc 2\(\alpha \), biết:
a, \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3},0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\)
b, \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{4},\pi < \alpha < 2\pi \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
\(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)
Lời giải chi tiết
a, Ta có:
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .cos\alpha = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\cos2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{3}\\\tan 2\alpha = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = 2\sqrt 2 \\\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array}\)
b,
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\\ \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}\end{array}\)
Vì \(\pi < \alpha < 2\pi \Rightarrow \frac{\pi }{2} < \frac{\alpha }{2} < \pi \Rightarrow cos\alpha = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha }{2}.cos\frac{\alpha }{2} = 2.\frac{3}{4}.\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) = - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\\cos\alpha = 2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} - 1 = 2.{\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 = - \frac{1}{8}\\\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .cos\alpha = 2.\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}} \right).\left( { - \frac{1}{8}} \right) = \frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}\\cos2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.{\left( { - \frac{1}{8}} \right)^2} - 1 = - \frac{{31}}{{32}}\\\tan 2\alpha = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}}}{{ - \frac{{31}}{{32}}}} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}\\\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}}} = - \frac{{31\sqrt 7 }}{{21}}\end{array}\)
Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán giới hạn hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài 3 yêu cầu học sinh tính giới hạn của các hàm số tại một điểm cho trước. Các hàm số có thể là hàm đa thức, hàm phân thức, hoặc các hàm số khác. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các định nghĩa và tính chất của giới hạn, cũng như các phương pháp tính giới hạn như phương pháp chia, phương pháp nhân liên hợp, và phương pháp sử dụng định lý giới hạn.
Để giải Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1, chúng ta sẽ xét từng câu hỏi cụ thể. Ví dụ, xét câu a:
Tương tự, chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải các câu hỏi còn lại trong bài tập. Lưu ý rằng, trong quá trình giải bài tập, học sinh cần chú ý đến các trường hợp đặc biệt như giới hạn vô cùng, giới hạn tại vô cùng, và các dạng giới hạn không xác định.
Ngoài Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1, còn rất nhiều bài tập tương tự về giới hạn hàm số trong chương trình học Toán 11. Để rèn luyện kỹ năng giải bài tập này, học sinh có thể tham khảo các bài tập sau:
Để giải bài tập về giới hạn một cách hiệu quả, học sinh có thể áp dụng một số mẹo sau:
Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn hàm số. Bằng cách nắm vững các định nghĩa, tính chất, và phương pháp tính giới hạn, học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. loigiai.com.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này sẽ giúp các em học sinh học tập tốt hơn.
| Dạng bài tập | Phương pháp giải |
|---|---|
| Giới hạn của hàm đa thức | Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số |
| Giới hạn của hàm phân thức | Rút gọn phân số, sau đó thay trực tiếp giá trị của x |
| Giới hạn của hàm lượng giác | Sử dụng các công thức lượng giác và giới hạn đặc biệt |
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
