Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào các kiến thức về phép biến hình.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải bài tập Toán 11 chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác đều có cạnh bằng \(a\), gọi là tam giác \({H_1}\). Nối các trung điểm của \({H_1}\) để tạo thành tam giác \({H_2}\). Tiếp theo, nối các trung điểm của \({H_1}\), để tạo thành tam giác \({H_3}\) (Hình 1).
Đề bài
Cho tam giác đều có cạnh bằng \(a\), gọi là tam giác \({H_1}\). Nối các trung điểm của \({H_1}\) để tạo thành tam giác \({H_2}\). Tiếp theo, nối các trung điểm của \({H_1}\), để tạo thành tam giác \({H_3}\) (Hình 1). Cứ tiếp tục như vậy, nhận được dãy tam giác \({H_1},{H_2},{H_3},...\)
Tính tổng chu vi và tổng diện tích các tam giác của dãy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1:Tìm cạnh của tam giác đều thứ \(n\) dựa vào cạnh của tam giác đều thứ \(n - 1\).
Bước 2: Tính chu vi và diện tích của tam giác đều thứ \(n\).
Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\):
\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết
Gọi \({u_n}\) là độ dài cạnh của tam giác đều thứ \(n\).
Ta có: \({u_1} = a;{u_2} = \frac{{{u_1}}}{2};{u_3} = \frac{{{u_2}}}{2};...\)
Từ đó ta thấy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = a\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Vậy \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = a.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{a}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Chu vi của tam giác đều thứ \(n\) là: \({p_n} = 3{u_n} = \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Tổng chu vi của các tam giác của dãy là:
\({P_n} = 3{\rm{a}} + \frac{{3{\rm{a}}}}{2} + \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^{n - 1}}}} + ... = 3{\rm{a}}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...} \right)\)
Tổng \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Vậy \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 \Rightarrow {P_n} = 3{\rm{a}}.2 = 6{\rm{a}}\).
Diện tích của hình vuông thứ \(n\) là:
\({s_n} = \frac{{u_n^2\sqrt 3 }}{4} = {\left( {\frac{a}{{{2^{n - 1}}}}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Tổng diện tích của các tam giác của dãy là:
\({S_n} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ... = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ...} \right)\)
Tổng \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{4}\).
Vậy \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow {S_n} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\)
Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép biến hình, cụ thể là phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm để giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết từng phần của bài tập này:
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức cơ bản về các phép biến hình:
Bài tập 7.1 yêu cầu xác định ảnh của một điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v. Để giải bài tập này, ta sử dụng công thức:
M' = M + v
Trong đó:
Ví dụ: Cho điểm M(2; 3) và vectơ v = (1; -2). Tìm ảnh M' của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
Giải:
M' = M + v = (2 + 1; 3 - 2) = (3; 1)
Bài tập 7.2 yêu cầu xác định tâm quay và góc quay của một phép quay biến điểm A thành điểm A'. Để giải bài tập này, ta cần tìm tọa độ của tâm quay O và góc quay α sao cho:
OA = OA' và góc AOA' = α
Việc tìm tâm quay và góc quay có thể phức tạp, tùy thuộc vào tọa độ của điểm A và A'.
Bài tập 7.3 yêu cầu xác định phương trình của đường thẳng là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Oy. Để giải bài tập này, ta cần nhớ rằng phép đối xứng trục Oy biến điểm M(x; y) thành điểm M'(-x; y).
Do đó, nếu đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0, thì ảnh của nó qua phép đối xứng trục Oy sẽ có phương trình ax - by + c = 0.
Bài tập 7.4 yêu cầu xác định tọa độ của điểm M' là ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm I. Để giải bài tập này, ta sử dụng công thức:
M' = 2I - M
Trong đó:
Ví dụ: Cho điểm M(1; 2) và tâm đối xứng I(3; 4). Tìm ảnh M' của điểm M qua phép đối xứng tâm I.
Giải:
M' = 2I - M = 2(3; 4) - (1; 2) = (6 - 1; 8 - 2) = (5; 6)
Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về các phép biến hình. Việc nắm vững lý thuyết và thực hành giải các bài tập tương tự sẽ giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi sắp tới.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh đã hiểu rõ hơn về cách giải Bài 7 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
