Loigiai.com.vn - Giải Bài 4 Trang 112 Sgk Toán 11 Tập 1

Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hóa affine. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về vector, ma trận và các phép biến đổi hình học.

Tại loigiai.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 4 trang 112, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.

Cho tứ diện (ABCD) và điểm (M) thuộc cạnh (AB). Gọi (left( alpha right)) là mặt phẳng qua (M), song song với hai đường thẳng (BC) và (AD). Gọi (N,P,Q) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (left( alpha right)) với các cạnh (AC,CD) và (DB).

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) và điểm \(M\) thuộc cạnh \(AB\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(M\), song song với hai đường thẳng \(BC\) và \(AD\). Gọi \(N,P,Q\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các cạnh \(AC,CD\) và \(DB\).

a) Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành.

b) Trong trường hợp nào thì \(MNPQ\) là hình thoi?

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo 1

Áp dụng định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Lời giải chi tiết

Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo 2

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}MN = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\\PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel BC\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MN\parallel PQ\parallel BC\) (1).

\(\begin{array}{l}MQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right)\\NP = \left( \alpha \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {ABD} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\MQ\parallel A{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MQ\parallel NP\parallel A{\rm{D}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành.

b) Để \(MNPQ\) là hình thoi thì \(MN = NP\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\\NP\parallel A{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{NP}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AN}}{{AC}} + \frac{{CN}}{{AC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN.\left( {\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{A{\rm{D}}}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow MN.\frac{{BC + A{\rm{D}}}}{{BC.A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\end{array}\)

Vậy nếu \(MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\) thì \(MNPQ\) là hình thoi.

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Học tốt Toán lớp 11 trên nền tảng môn toán của chúng tôi! Bộ lý thuyết toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hóa affine. Để giải bài tập này, trước tiên chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa và các tính chất của phép biến hóa affine.

I. Lý thuyết cần nắm vững

1. Phép biến hóa affine:

Một phép biến hóa affine là một ánh xạ f: V → V, trong đó V là một không gian vector, thỏa mãn hai tính chất sau:
f(u + v) = f(u) + f(v) với mọi u, v ∈ V
f(αu) = αf(u) với mọi u ∈ V và mọi số α

2. Ma trận biểu diễn của phép biến hóa affine:

Mọi phép biến hóa affine đều có thể biểu diễn bằng một ma trận. Ma trận này được gọi là ma trận biểu diễn của phép biến hóa affine.

II. Giải Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Nội dung bài tập: (Giả sử nội dung bài tập được trình bày đầy đủ tại đây. Ví dụ: Cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4). Tìm ảnh của A và B qua phép biến hóa affine f(x, y) = (2x + y, x - y))

Lời giải:

Tìm ảnh của điểm A(1; 2):
Áp dụng phép biến hóa affine f(x, y) = (2x + y, x - y) vào điểm A(1; 2), ta được:
f(1; 2) = (2*1 + 2, 1 - 2) = (4, -1)
Vậy, ảnh của điểm A là A'(4; -1).
Tìm ảnh của điểm B(3; 4):
Áp dụng phép biến hóa affine f(x, y) = (2x + y, x - y) vào điểm B(3; 4), ta được:
f(3; 4) = (2*3 + 4, 3 - 4) = (10, -1)
Vậy, ảnh của điểm B là B'(10; -1).

III. Luyện tập và mở rộng

Để nắm vững kiến thức về phép biến hóa affine và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em có thể tham khảo thêm các bài tập sau:

Bài 5 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài tập trắc nghiệm về phép biến hóa affine
Các bài tập nâng cao về phép biến hóa affine

Kết luận:

Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ về phép biến hóa affine và ứng dụng của nó trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn của loigiai.com.vn, các em học sinh sẽ giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả.

Ngoài ra, các em có thể tìm hiểu thêm về các kiến thức liên quan đến phép biến hóa affine thông qua các tài liệu tham khảo và video bài giảng trên internet.

Chúc các em học tập tốt!