Lý thuyết Đạo hàm - Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\).

Vậy:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).

Chú ý:

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), kí hiệu y’ hoặc f’(x).

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đạo hàm tại \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

a) Đại lượng \(\Delta x = x - {x_0}\) gọi là số gia của biến tại \({x_0}\). Đại lượng \(y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, \(x = {x_0} + \Delta x\) và

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\).

b) Tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ \({x_0}\) đến \({x_0} + \Delta x\); còn \(f'\left( {{x_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm \({x_0}\).

2. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

- Nếu hàm số s = f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm \({t_0}\).

- Nếu hàm số T = f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\).

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) với đồ thị (C) của hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).

Tiếp tuyến \({M_0}T\) có phương trình là \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).