Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương 1: Hàm số lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số lượng giác, đặc biệt là các phép biến đổi lượng giác để giải quyết các bài toán cụ thể.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Tìm các giới hạn:
Đề bài
Tìm các giới hạn:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - 16}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + x + 5}}{{2{x^3} - 1}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x - 1}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, b, Đây là giới hạn tại điểm có dạng vô định \(\frac{0}{0}\)
Phân tích đa thức thành nhân tử để khử dạng vô định \(\frac{0}{0}\)
c, d, Đây là giới hạn của hàm số tại vô cực
Áp dụng các công thức sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\)
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của \(x\) với số mũ lớn nhất
Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left| x \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)\)
Lời giải chi tiết
a,
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 3}}{{x + 4}} = \frac{{4 + 3}}{{4 + 4}} = \frac{7}{8}\)
b,
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{{1^3} + {1^2} + 1 + 1}}{{{1^2} + 1 + 1}} = \frac{4}{3}\)
c,
Chia cả từ và mẫu cho \({x^3}\) ta được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + x + 5}}{{2{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{5}{{{x^3}}}}}{{2 - \frac{1}{{{x^3}}}}} = \frac{1}{2}\)
d,
Chia cả tử và mẫu cho \(x\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2 - \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}\)
Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta giải phương trình lượng giác. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và các phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp.
Trước khi bắt đầu giải, hãy đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Xác định các hàm số lượng giác có trong phương trình và các phép toán cần thực hiện. Trong bài 3.17, chúng ta thường gặp các dạng phương trình như:
Phương trình lượng giác cơ bản: sin(x) = a, cos(x) = a, tan(x) = a, cot(x) = a
Phương trình lượng giác lượng giác: sin(ax + b) = c, cos(ax + b) = c, tan(ax + b) = c, cot(ax + b) = c
Phương trình lượng giác sử dụng công thức biến đổi lượng giác: sin2(x) + cos2(x) = 1, tan(x) = sin(x)/cos(x), cot(x) = cos(x)/sin(x)
Để minh họa, giả sử bài toán yêu cầu giải phương trình sin(2x) = 1/2. Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: sin(2x) = 1/2. Ta biết rằng sin(π/6) = 1/2, do đó:
2x = π/6 + k2π hoặc 2x = 5π/6 + k2π (k ∈ Z)
Chia cả hai vế cho 2, ta được:
x = π/12 + kπ hoặc x = 5π/12 + kπ (k ∈ Z)
Xét phương trình cos(x - π/3) = √3/2. Tương tự, ta tìm nghiệm tổng quát:
x - π/3 = π/6 + k2π hoặc x - π/3 = -π/6 + k2π (k ∈ Z)
x = π/2 + k2π hoặc x = π/6 + k2π (k ∈ Z)
Khi giải phương trình lượng giác, cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số lượng giác. Ví dụ, hàm tan(x) và cot(x) không xác định khi cos(x) = 0 và sin(x) = 0 tương ứng. Ngoài ra, cần kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự sau:
Giải phương trình sin(3x) = √2/2
Giải phương trình cos(x + π/4) = -1/2
Giải phương trình tan(2x) = 1
Kiến thức về phương trình lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, như vật lý, kỹ thuật điện, xử lý tín hiệu, và nhiều lĩnh vực khác. Việc nắm vững kiến thức này giúp chúng ta giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.
Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác. Bằng cách nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và các phương pháp giải phương trình lượng giác, chúng ta có thể giải quyết các bài toán tương tự một cách dễ dàng và hiệu quả. loigiai.com.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán và đạt kết quả tốt trong học tập.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
