Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Lũy thừa trong chương trình SGK Toán 11. Đây là một phần kiến thức quan trọng, đặt nền móng cho các chương trình Toán học nâng cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cách hệ thống và dễ hiểu nhất về các khái niệm, tính chất và ứng dụng của lũy thừa.
loigiai.com.vn tự hào mang đến cho bạn tài liệu học tập chất lượng, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
A. Lý thuyết 1. Lũy thừa với số mũ nguyên
A. Lý thuyết
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương. - Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. \({a^n} = a.a...a\) (n thừa số a). - Với \(a \ne 0\): \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\). |
Trong biểu thức \({a^n}\), ta gọi a là cơ số, số nguyên n là số mũ.
Lưu ý:
- Với \(a \ne 0\) thì \({a^0} = 1\).
- \({0^0}\) với \({0^{ - n}}\) với \(n \in \mathbb{N}\) không có nghĩa.
Cho a, b là các số thực khác 0 và với các số nguyên m, n, ta có: +) \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\) +) \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\) +) \({({a^m})^n} = {a^{m.n}}\) +) \({(a.b)^m} = {a^m}.{b^m}\) +) \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\) |
2. Lúy thừa với số mũ hữu tỉ
| Cho số thực b và số nguyên dương n \((n \ge 2)\). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu \({a^n} = b\). |
Lưu ý:
- Với n lẻ và \(b \in \mathbb{R}\), có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).
- Với n chẵn và:
+ b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.
+ b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0.
+ b > 0: Có hai căn bậc n trái dấu, giá trị dương kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\) và giá trị âm kí hiệu là \( - \sqrt[n]{b}\).
Cho số thực a dương và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m \in \mathbb{Z}\), \(n \in \mathbb{N}\), \(n \ge 2\). Lũy thừa của số a với số mũ r, kí hiệu \({a^r}\) xác định bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\). |
Lưu ý : \({a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\) với a > 0 và \(n \in \mathbb{N}\), \(n \ge 2\).
| Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên. |
3. Lũy thừa với số mũ thực
Cho số thực a dương và số vô tỉ \(\alpha \), trong đó \(\alpha = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {r_n}\) với \(({r_n})\) là một dãy số hữu tỉ. Giới hạn của dãy số \(({a^{{r_n}}})\) gọi là lũy thừa của số a với số mũ \(\alpha \), kí hiệu \({a^\alpha }\). \({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(\alpha = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {r_n}\). |
Lưu ý:
- Từ định nghĩa, ta có \({1^\alpha } = 1\) \((\alpha \in \mathbb{R})\).
- Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số khác 0.
- Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
| Lũy thừa với số mũ thực dương có các tính chất tương tự lũy thừa vơi số mũ nguyên. |
B. Bài tập
Bài 1:
a) Không dùng máy tính cầm tay, rút gọn giá trị biểu thức:
\(A = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 10}}{.27^{ - 3}} + {(0,2)^{ - 4}}{.25^{ - 2}}{.128^{ - 1}}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 9}}\).
b) Rút gọn biểu thức: \(B = \left[ {\frac{{a\sqrt 2 }}{{{{(1 + {a^2})}^{ - 1}}}} - \frac{{2\sqrt 2 }}{{{a^{ - 1}}}}} \right].\frac{{{a^{ - 1}}}}{{1 - {a^{ - 2}}}}\) \((a \ne 0,a \ne 1,a \ne - 1)\).
Giải:
a) \(A = {({3^{ - 1}})^{ - 10}}.{({3^3})^{ - 3}} + {({5^{ - 1}})^{ - 4}}.{({5^2})^{ - 2}} + {({2^7})^{ - 1}}.{({2^{ - 1}})^{ - 9}}\)
\( = {3^{10}}{.3^{ - 9}} + {5^4}{.5^{ - 4}} + {2^{ - 7}}{.2^9}\)
\( = {3^1} + {5^0} + {2^2} = 8\).
b) \(B = \left[ {a\sqrt 2 (1 + {a^2}) - 2\sqrt 2 a} \right].\frac{1}{{{a^3}(1 - {a^{ - 2}})}}\)
\( = (a\sqrt 2 + {a^3}\sqrt 2 - 2a\sqrt 2 ).\frac{1}{{{a^3} - a}}\)
\( = a\sqrt 2 ({a^2} - 1).\frac{1}{{a({a^2} - 1)}} = \sqrt 2 \).
Bài 2:
a) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức \(A = {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} + {9^{ - \frac{3}{2}}}\).
b) Rút gọn biểu thức \(C = \frac{{{x^{\frac{6}{5}}}y + x{y^{\frac{6}{5}}}}}{{\sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{y}}}\) (x > 0, y > 0).
Giải:
a) Ta có \({\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{27}}}} = \frac{1}{3}\); \({9^{ - \frac{3}{2}}} = \sqrt {{9^{ - 3}}} = \sqrt {\frac{1}{{{9^3}}}} = {\left( {\sqrt {\frac{1}{9}} } \right)^3} = \frac{1}{{27}}\).
Vậy \(A = {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} + {9^{ - \frac{3}{2}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{{27}} = \frac{{10}}{{27}}\).
b) Với x, y là các số dương, theo định nghĩa, ta có \(C = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{5}}} + {y^{\frac{1}{5}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{5}}} + {y^{\frac{1}{5}}}}} = xy\).
Bài 3: Rút gọn biểu thức \(E = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 5 }}}}{{{{({a^{\sqrt 7 - 3}})}^{\sqrt 7 + 3}}}}\) (a > 0).
Giải:
\(E = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1 + 2 - \sqrt 5 }}}}{{{a^{(\sqrt 7 - 3)(}}^{\sqrt 7 + 3)}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}\).
Lũy thừa là một phép toán cơ bản trong toán học, biểu thị sự lặp lại của một phép nhân. Trong chương trình Toán 11, lý thuyết lũy thừa được mở rộng và đi sâu hơn, bao gồm các khái niệm về lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ thực, và các tính chất liên quan.
Với a là một số thực và n là một số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a, ký hiệu là an, là tích của n thừa số bằng a:
an = a × a × ... × a (n lần)
Trong đó:
Lũy thừa có nhiều tính chất quan trọng, giúp đơn giản hóa các phép toán và giải quyết các bài toán liên quan. Một số tính chất cơ bản bao gồm:
Trong chương trình Toán 11, lũy thừa còn được mở rộng sang số mũ thực. Với a > 0 và α là một số thực, lũy thừa aα được định nghĩa thông qua hàm mũ và logarit.
Lũy thừa có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Để nắm vững lý thuyết lũy thừa, bạn cần thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số bài tập vận dụng:
Khi làm việc với lũy thừa, cần lưu ý một số điểm sau:
Lý thuyết lũy thừa là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững các khái niệm, tính chất và ứng dụng của lũy thừa sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin hơn. loigiai.com.vn hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn học tập tốt hơn.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
