Bài 8.5 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Bài 8.5 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Giải chi tiết

Bài 8.5 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số.

Nội dung bài toán

Bài toán yêu cầu tìm đạo hàm của hàm số và xác định các điểm cực trị của hàm số đó. Để giải bài toán này, học sinh cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
2. Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định. Các điểm này là các điểm nghi ngờ là cực trị.
3. Khảo sát dấu của f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm x₀ thì x₀ là điểm cực đại. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu.
4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu.

Lời giải chi tiết

Để minh họa, ta xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm mà f'(x) = 0

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy x = 0 hoặc x = 2

Bước 3: Khảo sát dấu của f'(x)

• Trên khoảng (-∞, 0), f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
• Trên khoảng (0, 2), f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
• Trên khoảng (2, +∞), f'(x) > 0, hàm số đồng biến.

Bước 4: Kết luận

Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, nên x = 0 là điểm cực đại. Giá trị cực đại là f(0) = 2.

Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, nên x = 2 là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Trong kinh tế: Đạo hàm được sử dụng để tính toán chi phí biên, doanh thu biên và lợi nhuận biên.
• Trong vật lý: Đạo hàm được sử dụng để tính toán vận tốc, gia tốc và các đại lượng liên quan đến chuyển động.
• Trong kỹ thuật: Đạo hàm được sử dụng để tối ưu hóa các thiết kế và quy trình sản xuất.

Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
• Chú ý đến các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản và các phép toán trên hàm số.
• Khảo sát dấu của đạo hàm một cách cẩn thận để xác định đúng các điểm cực trị.

Bài tập tương tự

Để rèn luyện kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác.

Ví dụ:

Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, bạn sẽ hiểu rõ hơn về Bài 8.5 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 và có thể tự tin giải các bài tập tương tự.