Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 3 của SGK Toán 11 tập 1. Chúng tôi giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những lời giải chính xác, đầy đủ và có phương pháp tiếp cận rõ ràng.
Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{x}\)
Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{x}\)
a, Tìm tập xác định của hàm số.
b, Tính giá trị của hàm số tại các điểm trong bảng giá trị sau:
c, Nhận xét gì về giá trị của f(x) khi x dần đến \( + \infty \)? Khi x dần đến \( - \infty \)?
Phương pháp giải:
Tập xác định là các giá trị của x để hàm số có nghĩa.
Thay giá trị của x vào hàm số để được các giá trị của f(x) tương ứng.
Lời giải chi tiết:
a, Tập xác định: R\{0}.
b, Thay lần lượt các giá trị của x vào f(x) ta được:
\(\)x dần đến \( - \infty \) thì f(x)=0
\(f( - {10^8}) = \frac{1}{{ - {{10}^8}}} = - {10^{ - 8}}\)
\(f(10) = \frac{1}{{10}}\)
\(f( - {10^3}) = \frac{1}{{ - {{10}^3}}} = - {10^{ - 3}}\)
\(f(1000) = \frac{1}{{1000}} = {10^{ - 3}}\)
\(f( - {10^2}) = \frac{1}{{ - {{10}^2}}} = - {10^{ - 2}}\)
\(f(100000) = \frac{1}{{100000}} = {10^{ - 5}}\)
\(f( - 10) = \frac{1}{{ - 10}} = \frac{{ - 1}}{{10}}\)
\(f({10^9}) = \frac{1}{{{{10}^9}}} = {10^{ - 9}}\)
x dần đến \( + \infty \) thì f(x)=0.
c, Khi x dần đến và x dần đến thì f(x)=0.
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\).
Phương pháp giải:
Đưa x ra khỏi dấu căn để chia cả tử và mẫu cho x.
Với x dần đến \( - \infty \) thì |x| = -x
Với x dần đến \( + \infty \) thì |x| = x.
Lời giải chi tiết:
Hàm số có tập xác định là \(( - \infty ;0) \cup (0; + \infty )\)
Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} < 0\) và \(\lim {x_n} = - \infty \)
Ta có \(\lim f({x_n}) = \frac{{\sqrt {x_n^2 + 1} }}{{{x_n}}} = \lim \frac{{\left| {{x_n}} \right|.\sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} }}{{{x_n}}} = \lim \frac{{ - {x_n}.\sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} }}{{{x_n}}} = \lim ( - \sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} ) = - 1\)
Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} > 0\) và \(\lim {x_n} = + \infty \)
Ta có \(\lim f({x_n}) = \frac{{\sqrt {x_n^2 + 1} }}{{{x_n}}} = \lim \frac{{\left| {{x_n}} \right|.\sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} }}{{{x_n}}} = \lim \frac{{{x_n}.\sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} }}{{{x_n}}} = \lim \sqrt {1 + \frac{1}{{x_n^2}}} = 1\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1\).
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x + 5}}\).
Phương pháp giải:
Đưa x ra khỏi dấu căn để chia cả tử và mẫu cho x.
Với x dần đến \( - \infty \) thì |x| = -x
Lời giải chi tiết:
Hàm số có tập xác định là \(( - \infty ; - 5) \cup ( - 5; + \infty )\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|.\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{5}{x}}}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } - \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} = - 1\) , lim 1=1 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{5}{x} = 0\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{5}{x}}} = - 1\).
Cho hàm số \(f(x) = {x^2}\) và dãy số \(({x_n})\) với \({x_n} = n + 1\)
a, Tìm \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n}\)
b, Tính \(f({x_n})\) theo n và tìm \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im f(}}{{\rm{x}}_n})\).
Phương pháp giải:
a, Thay \({x_n} = n + 1\) để tìm \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n}\)
b, Thay \({x_n} = n + 1\) vào hàm số \(f(x) = {x^2}\) để tìm \(f({x_n})\)
Dựa vào câu a để xác định \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im f(}}{{\rm{x}}_n})\).
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = \lim (n + 1)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } (n + 1) = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (n + 1) = + \infty \).
b, Thay \({x_n} = n + 1\) vào hàm số \(f(x) = {x^2}\) ta được:
\(f({x_n}) = {(n + 1)^2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } {\rm{f(}}{{\rm{x}}_n}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } {(n + 1)^2} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\rm{f(}}{{\rm{x}}_n}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(n + 1)^2} = + \infty \).
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{x}\)
Phương pháp giải:
Chia tử cho mẫu để tính giới hạn
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{x} = x + \frac{1}{x}\) có tập xác định là \(( - \infty ;0) \cup (0; + \infty )\)
\(\forall ({x_n}),{x_n} < 0\)và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = - \infty \), ta có \(\lim f({x_n}) = \lim ({x_n} + \frac{1}{{{x_n}}}) = {\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n}(1 + \frac{1}{{x_n^2}})\)
Vì \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im x}}_n^2 = + \infty \) nên \(\lim \frac{1}{{x_n^2}} = 0\). Suy ra \(\lim (1 + \frac{1}{{x_n^2}}) = 1\)
Vì \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = - \infty \) và \(\lim (1 + \frac{1}{{x_n^2}}) = 1\) nên \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n}(1 + \frac{1}{{x_n^2}}) = - \infty \)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{x} = - \infty \).
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) và g(x)=x+1
a, Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)\)
b, Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\rm{[}}f(x).g(x){\rm{]}}\).
Phương pháp giải:
a, Với f(x) chia tử cho mẫu để tìm giới hạn
Với g(x) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 1) = + \infty \)
b, Tính f(x). g(x) và dựa vào câu a xác định \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\rm{[}}f(x).g(x){\rm{]}}\)
Lời giải chi tiết:
a, Hàm số \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1 - \frac{2}{{x + 1}}\) có tập xác định \(( - \infty , - 1) \cup ( - 1; + \infty )\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (1 - \frac{2}{{x + 1}}) = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 1) = + \infty \)
b, Ta có: \(f(x).g(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.(x + 1) = x - 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x).g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x - 1) = + \infty \).
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}\).
Phương pháp giải:
Xác định \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {{x^2} + 2x} \) để tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}\)
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {{x^2} + 2x} \)=0 và \(\sqrt {{x^2} + 2x} > 0,\forall x > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }} = + \infty \).
Trong một cuộc thi các môn thể thao trên tuyết, người ta muốn thiết kế một đường trượt bằng bang cho nội dung đổ dốc tốc độ đường dài
Vận động viên sẽ xuất phát từ vị trí (0; 15) cao 15 m so với mặt đất (trục 0x) . Đường trượt phải thỏa mãn yêu cầu là càng ra xa thì càng gần mặt đất để tiết kiệm lượng tuyết nhân tạo. Một nhà thiết kế đề nghị sử dụng đường cong là đồ thị \(y = f(x) = \frac{{150}}{{x + 10}}\) với \(x \ge 0\). Hãy kiểm tra xem hàm số y=f(x) có thỏa mãn các điều kiện dưới đây hay không:
a, Có đồ thị đi qua điểm (0,15)
b, Giảm trên \(\left[ {0, + \infty } \right]\)
c, Càng ra xa ( x càng lớn), đồ thị càng gần trục Ox với khoảng cách nhỏ tùy ý.
Phương pháp giải:
a, Thay tọa độ (0,15) vào hàm số để kiểm tra điểm có thuộc hàm số hay không?
b, Nhận xét với x càng tăng thì giá trị f(x) càng giảm
c, Tính lim f(x) khi x dần đến \( + \infty \)
Lời giải chi tiết:
a, Thay x=0 vào hàm số \(y = f(x) = \frac{{150}}{{x + 10}}\) ta được:
\(y = \frac{{150}}{{0 + 10}} = \frac{{150}}{{10}} = 15\)
Vậy điểm (0,15) thuộc đồ thị hàm số.
b, Nhận thấy khi x càng tăng thì giá trị hàm số càng giảm. Vậy hàm số \(y = f(x) = \frac{{150}}{{x + 10}}\) giảm trên \(\left[ {0, + \infty } \right]\)
c, Ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{150}}{{x + 10}} = 0\)
Vậy càng ra xa ( x càng lớn), đồ thị càng gần trục Ox với khoảng cách nhỏ tùy ý.
Mục 3 của SGK Toán 11 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững lý thuyết cơ bản, các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Ngoài ra, việc hiểu rõ phương pháp giải từng dạng bài cũng rất quan trọng.
Để cung cấp một bài giải chi tiết, chúng ta cần xác định chính xác nội dung của Mục 3 trong chương cụ thể của SGK Toán 11 tập 1. Ví dụ, nếu Mục 3 thuộc chương về hàm số bậc hai, nội dung có thể bao gồm:
Dưới đây là phần giải chi tiết các bài tập từ trang 69 đến trang 73, giả sử chúng thuộc chương về hàm số bậc hai. (Lưu ý: Nội dung giải cụ thể sẽ thay đổi tùy thuộc vào từng bài tập trong SGK)
Ví dụ: Cho hàm số y = 2x² - 5x + 3. Xác định hệ số a, b, c.
Giải: a = 2, b = -5, c = 3.
Ví dụ: Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = x² - 4x + 3.
Giải: xđỉnh = -b / 2a = -(-4) / (2 * 1) = 2. yđỉnh = (2)² - 4(2) + 3 = -1. Vậy đỉnh của parabol là (2; -1).
Ví dụ: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = -x² + 2x + 1.
Giải: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x² - 2x - 1.
Giải: Xác định đỉnh, trục đối xứng, giao điểm với trục tung và một vài điểm khác để vẽ đồ thị.
Ví dụ: Giải phương trình x² - 5x + 6 = 0.
Giải: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Tính delta (Δ) = b² - 4ac = (-5)² - 4(1)(6) = 1. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = (5 + 1) / 2 = 3 và x2 = (5 - 1) / 2 = 2.
Để học tốt môn Toán 11, bạn nên:
Việc giải các bài tập trong Mục 3 trang 69, 70, 71, 72, 73 SGK Toán 11 tập 1 là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán. Loigiai.com.vn hy vọng rằng với những lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải toán và đạt kết quả tốt nhất.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
