Bài 7.8 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Cho parabol (P) . Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5.
Đề bài
Cho parabol (P) . Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính \({y'}\) và giải phương trình \({y'} = {f'}({x_0}) = 5\) để xác định tọa độ tiếp điểm
Lời giải chi tiết
Ta có: \({y'} = {(2{x^2} - 3x + 1)'} = 4x - 3\)
Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5 ta có: \({y'} = {f'}({x_0}) = 5 \Rightarrow 4{x_0} - 3 = 5 \Rightarrow {x_0} = 2\)\( \Rightarrow f({x_0}) = {2.2^2} - 3.2 + 1 = 3\)
Vậy phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5 tại điểm (2,3) là:
y = 5. (x – 2)+3= 5x – 7
Bài 7.8 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 là một bài toán ứng dụng đạo hàm để giải quyết một vấn đề thực tế. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Bài toán yêu cầu tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích cho trước sao cho diện tích toàn phần của nó nhỏ nhất. Đây là một bài toán tối ưu hóa điển hình, có thể giải quyết bằng cách sử dụng đạo hàm.
Bước 1: Đặt ẩn và thiết lập hàm số
Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là x, y, z. Ta có thể tích của hình hộp chữ nhật là V = xyz (không đổi) và diện tích toàn phần là S = xy + 2xz + 2yz.
Từ V = xyz, ta có z = V/(xy). Thay vào công thức tính diện tích, ta được:
S = xy + 2x(V/(xy)) + 2y(V/(xy)) = xy + 2V/y + 2V/x
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số S theo x và y
∂S/∂x = y - 2V/x2
∂S/∂y = x - 2V/y2
Bước 3: Giải hệ phương trình ∂S/∂x = 0 và ∂S/∂y = 0
y - 2V/x2 = 0 => y = 2V/x2
x - 2V/y2 = 0 => x = 2V/y2
Thay y = 2V/x2 vào x = 2V/y2, ta được:
x = 2V / (2V/x2)2 = 2V / (4V2/x4) = x4 / (2V)
=> x3 = 2V => x = 3√2V
Thay x = 3√2V vào y = 2V/x2, ta được:
y = 2V / (3√2V)2 = 2V / (3√(4V2)) = 3√2V
Vậy x = y = 3√2V
z = V/(xy) = V / (3√2V * 3√2V) = V / 3√(4V2) = 3√V/2
Bước 4: Kiểm tra điều kiện cực tiểu
Tính đạo hàm bậc hai của S:
∂2S/∂x2 = 4V/x3
∂2S/∂y2 = 4V/y3
∂2S/∂x∂y = 1
Tính D = (∂2S/∂x2)(∂2S/∂y2) - (∂2S/∂x∂y)2
D = (4V/x3)(4V/y3) - 1 = (4V/3√2V)2 - 1 > 0
Vì ∂2S/∂x2 > 0, nên điểm tìm được là điểm cực tiểu.
Kích thước của hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích V cho trước sao cho diện tích toàn phần nhỏ nhất là: x = y = 3√2V và z = 3√V/2.
Bài toán này là một ví dụ điển hình về ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong thực tế. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và các ứng dụng của nó là rất quan trọng để giải quyết các bài toán tương tự.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về Bài 7.8 trang 45 SGK Toán 11 tập 2. Chúc các bạn học tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
