Giải mục 3 trang 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm hình chiều của các điểm \(A',C',D'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo phương của đường thẳng \(BB'\)

Phương pháp giải:

Tìm đường thẳng song song với đường thẳng \(BB'\) xuất phát từ các điểm \(A',C',D'\)

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu lần lượt là \(A,C,D\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Biết rằng hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(AD\). Xác định hình chiếu của:

a) Tam giác \(SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)

b) Các cạnh \(SB\) và \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\)

Phương pháp giải:

a) Tìm hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là xong vì \(B,C \in \left( {ABCD} \right)\)

b) Chứng minh \(BA,CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \)\(A,D\) là hình chiếu của \(B\) và \(C\) trên \(\left( {SAD} \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)

Vì \(B,C \in \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu của \(\Delta SBC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\Delta HBC\)

b) Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AB,SH \bot CD\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\AB \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(A\)

Vậy hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(SA\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(D\)

Vậy hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(SD\)

Cho đường thẳng \(b\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và không vuông góc với \(\left( \alpha \right)\). Gọi \(A,B\) là hai điểm phân biệt trên \(b\) và \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu của \(A,B\) trên \(\left( \alpha \right)\). Gọi \(b'\) là đường thẳng đi qua \(A',B'\) thì \(b'\) là hình chiếu vuông góc của \(b\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Xét \(a\) là một đường thẳng nằm tròn \(\left( \alpha \right)\).

a) Nếu \(a \bot b'\) thì \(a\) có vuông góc với \(b\) không? Vì sao?

b) Nếu \(a \bot b\) thì \(a\) có vuông góc với \(b'\) không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh \(a \bot AA'\)

Chứng minh \(a \bot \left( {AA'B'B} \right)\) từ đó suy ra \(a \bot b'\) và \(a \bot b\)

Lời giải chi tiết:

a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot a\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b'\\a \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( {AA'B'B} \right)\). Mà \(b \subset \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow a \bot b\)

b) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot a\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( {AA'B'B} \right)\). Mà \(b' \subset \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow a \bot b'\)

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân đỉnh \(B\) và hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng các đường thẳng \(AC\) và \(SB\) vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Lấy \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Chứng minh \(BG\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) kết hợp với \(AC \bot BG\) từ đó suy ra \(AC \bot SB\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Ta có \(SG \bot \left( {ABC} \right)\) (gt), suy ra \(BG\) là hình chiếu vuông góc của \(SG\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(\Delta \)\(ABC\) cân tại \(B\) suy ra \(BG \bot AC\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(AC \bot SB\) (định lý ba đường vuông góc)