Giải mục 2 trang 35, 36, 37 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Cho \(m = {2^7};\,n = {2^3}\)

a) Tính \({\log _2}\left( {mn} \right);{\log _2}m + {\log _2}n\) và so sánh các kết quả đó

b) Tính \({\log _2}\left( {\frac{m}{n}} \right);{\log _2}m - {\log _2}n\) và so sánh các kết quả đó

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất logarit và định nghĩa lôgarit để làm

Lời giải chi tiết:

a) \({\log _2}\left( {mn} \right) = {\log _2}\left( {{2^7}{{.2}^3}} \right) = {\log _2}{2^{10}} = 10\)

\({\log _2}m + {\log _2}n = {\log _2}{2^7} + {\log _2}{2^3} = 7 + 3 = 10\)

\( \Rightarrow {\log _2}m + {\log _2}n = {\log _2}mn\)

b) \({\log _2}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _2}\left( {\frac{{{2^7}}}{{{2^3}}}} \right) = {\log _2}{2^4} = 4\)

\({\log _2}m - {\log _2}n = {\log _2}{2^7} - {\log _2}{2^3} = 7 - 3 = 4\)

\( \Rightarrow {\log _2}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _2}m - {\log _2}n\)

Tính:

a) \(\ln \left( {\sqrt 5 + 2} \right) + \ln \left( {\sqrt 5 - 2} \right)\)

b) \(\log 400 - \log 4\)

c) \({\log _4}8 + {\log _4}12 + {\log _4}\frac{{32}}{3}\)

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức \({\log _a}\left( {m.n} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n\) và \({\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\ln \left( {\sqrt 5 + 2} \right) + \ln \left( {\sqrt 5 - 2} \right) = \ln \left[ {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)} \right] = \ln \left( {5 - 4} \right) = \ln 1 = 0\)

b) \(\log 400 - \log 4 = \log \frac{{400}}{4} = \log 100 = 2\)

c) \({\log _4}8 + {\log _4}12 + {\log _4}\frac{{32}}{3} = {\log _4}\left( {8.12.\frac{{32}}{3}} \right) = {\log _4}\left( {32.32} \right) = 5\)

Cho \(a > 0;a \ne 1;b > 0\), α là một số thực

a) Tính \({a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}}\,\,\,và \,\,\,{a^{\alpha {{\log }_a}b}}\)

b) So sánh \({\log _a}{b^\alpha }\,\,\,và \,\,\,\alpha {\log _a}b\)

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất logarit để giải

Lời giải chi tiết:

a) \({a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = c \Leftrightarrow {\log _a}c = {\log _a}{b^\alpha } \Leftrightarrow c = {b^\alpha } \Rightarrow {a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = {b^\alpha }\)

\({a^{\alpha {{\log }_a}b}} = c \Leftrightarrow {\log _a}c = \alpha {\log _a}b \Leftrightarrow {\log _a}c = {\log _a}{b^\alpha } \Leftrightarrow c = {b^\alpha } \Leftrightarrow {a^{\alpha {{\log }_a}b}} = {b^\alpha }\)

b) Do \({a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = {b^\alpha };\,\,{a^{\alpha {{\log }_a}b}} = {b^\alpha }\)

\( \Rightarrow {a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = {a^{\alpha {{\log }_a}b}} \Rightarrow {\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\)

Tính: \(2{\log _3}5 - {\log _3}50 + \frac{1}{2}{\log _3}36\)

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để tính

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}2{\log _3}5 - {\log _3}50 + \frac{1}{2}{\log _3}36\\ = {\log _3}{5^2} - {\log _3}50 + {\log _3}\sqrt {36} \\ = {\log _3}25 - {\log _3}50 + {\log _3}6\\ = {\log _3}\frac{{25}}{{50}}.6 = {\log _3}3 = 1\end{array}\)

Cho ba số thực dương a, b, c với \(a \ne 1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} b \ne 1\)

a) Bằng cách sử dụng tính chất \(c = {b^{{{\log }_b}c}}\), chứng tỏ rằng \({\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b\)

b) So sánh \({\log _b}c\) và \(\frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất đã cho, chứng tỏ rằng đẳng thức luôn đúng

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}{\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b\\ \Leftrightarrow {a^{{{\log }_a}c}} = {a^{{{\log }_a}b.{{\log }_b}c}}\\ \Leftrightarrow c = {b^{{{\log }_b}c}}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow c = c\)(luôn đúng)

Vậy \({\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b\)

b) Từ \({\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b \Leftrightarrow {\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\)

Tính: \({5^{{{\log }_{125}}64}}\)

Phương pháp giải:

Dựa vào các công thức vừa học để tính

Lời giải chi tiết:

\({5^{{{\log }_{125}}64}} = {5^{{{\log }_{{5^3}}}64}} = {5^{\frac{1}{3}{{\log }_5}64}} = {5^{{{\log }_5}\sqrt[3]{{64}}}} = {5^{{{\log }_5}4}} = 4\)

Sử dụng máy tính cầm tay để tính: \({\log _7}19;{\log _{11}}26\)

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức vừa học để làm

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\log _7}19 \approx 1,5131\\{\log _{11}}26 \approx 1,3587\end{array}\)