Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều

Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều là một phần quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về phép biến hóa affine để giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập để giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết trọng tâm về phép biến hóa affine:

• Phép biến hóa affine: Là một phép biến đổi tuyến tính kết hợp với một phép tịnh tiến.
• Ma trận biểu diễn của phép biến hóa affine: Được biểu diễn dưới dạng ma trận vuông cấp 2 hoặc 3.
• Tính chất của phép biến hóa affine: Bảo toàn tính thẳng hàng, bảo toàn tỷ số độ dài trên một đường thẳng.

II. Giải chi tiết Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4). Tìm ma trận biểu diễn của phép biến hóa affine f, biết rằng f(A) = A'(-1; 0) và f(B) = B'(1; 2).

Hướng dẫn giải:

1. Bước 1: Xác định phép biến hóa tuyến tính g sao cho g(A) = A' và g(B) = B'.
2. Bước 2: Tìm ma trận biểu diễn của phép biến hóa tuyến tính g.
3. Bước 3: Xác định phép tịnh tiến h sao cho f = g + h.
4. Bước 4: Tìm ma trận biểu diễn của phép biến hóa affine f.

Lời giải:

Giả sử phép biến hóa tuyến tính g có ma trận biểu diễn là M = [[a, b], [c, d]]. Ta có:

g(A) = A' => [[a, b], [c, d]] * [[1], [2]] = [[-1], [0]]

g(B) = B' => [[a, b], [c, d]] * [[3], [4]] = [[1], [2]]

Giải hệ phương trình trên, ta được a = -1, b = 1, c = -1, d = 1. Vậy ma trận biểu diễn của phép biến hóa tuyến tính g là M = [[-1, 1], [-1, 1]].

Tiếp theo, ta tìm phép tịnh tiến h sao cho f = g + h. Vì f(A) = A' và g(A) = A', nên phép tịnh tiến h là phép đồng nhất, tức là h(x) = x với mọi điểm x. Do đó, ma trận biểu diễn của phép biến hóa affine f là:

M_f = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] + [[-1, 1, 0], [-1, 1, 0], [0, 0, 1]] = [[0, 1, 0], [-1, 2, 0], [0, 0, 1]]

III. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức về phép biến hóa affine, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:

• Bài 6 trang 24 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều
• Bài 7 trang 24 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều

IV. Kết luận

Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về phép biến hóa affine và cách vận dụng kiến thức này để giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập.