Bài 3 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học môn Toán lớp 11, tập trung vào phần giải tích tích phân. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học về nguyên hàm, tích phân để giải quyết các bài toán cụ thể.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Góc giữa đường thẳng \(AC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).
Đề bài
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Góc giữa đường thẳng \(AC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(\left( {BDD'B'} \right)\) vuông góc với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
‒ Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Tính khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Lời giải chi tiết
a) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot B{\rm{D}}\)
\(BB' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB' \bot AC\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AC \bot \left( {B{\rm{DD'B'}}} \right)\\AC \subset \left( {ACC'A'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {B{\rm{DD}}'B'} \right)\)
b) \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AB\parallel C{\rm{D}}\)
\(CDD'C'\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow C{\rm{D}}\parallel C'{\rm{D}}'\)
\( \Rightarrow AB\parallel C'{\rm{D}}' \Rightarrow d\left( {AB,C'{\rm{D}}'} \right) = d\left( {B,C'{\rm{D}}'} \right)\)
\(A'B'C'D'\) là hình vuông \( \Rightarrow C'D' \bot B'C'\)
\(CDD'C'\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow C'D' \bot CC'\)
\( \Rightarrow C'D' \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow C'D' \bot BC' \Rightarrow d\left( {B,C'{\rm{D}}'} \right) = BC'\)
\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l}CC' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {AC',\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AC',AC} \right) = \widehat {CAC'} = {60^ \circ }\\ \Rightarrow CC' = AC.\tan \widehat {CAC'} = a\sqrt 6 \end{array}\)
\(\Delta BCC'\) vuông tại \(C \Rightarrow BC{'^2} = \sqrt {B{C^2} + CC{'^2}} = a\sqrt 7 \)
Vậy \(d\left( {AB,C'{\rm{D}}'} \right) = a\sqrt 7 \).
Bài 3 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học tích phân. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến nguyên hàm và tích phân bất định, tích phân xác định.
Đề bài thường yêu cầu tính tích phân của một hàm số hoặc tìm nguyên hàm của một hàm số. Cần đọc kỹ đề bài để xác định đúng yêu cầu và các điều kiện ràng buộc.
Có nhiều phương pháp giải bài tập tích phân, tùy thuộc vào dạng bài cụ thể. Một số phương pháp thường được sử dụng bao gồm:
Ví dụ 1: Tính tích phân ∫(x^2 + 1) dx
Lời giải:
∫(x^2 + 1) dx = ∫x^2 dx + ∫1 dx = (x^3)/3 + x + C
Ví dụ 2: Tính tích phân ∫x*sin(x) dx
Lời giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: u = x, dv = sin(x) dx
=> du = dx, v = -cos(x)
∫x*sin(x) dx = -x*cos(x) - ∫(-cos(x)) dx = -x*cos(x) + ∫cos(x) dx = -x*cos(x) + sin(x) + C
Để củng cố kiến thức, học sinh có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Bài 3 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải tích tích phân. Bằng cách nắm vững các kiến thức và phương pháp giải, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
loigiai.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập và có thêm động lực để học tập.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
