Bài 5 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Bài 5 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 5 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều thuộc chương trình học Giải tích, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm và định lý liên quan đến đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số.

Nội dung bài tập:

Bài tập yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên các khoảng được chỉ định:

• a) y = x³ - 3x + 2 trên (-∞; -1) và (1; +∞)
• b) y = x⁴ - 4x² + 4 trên (-∞; 0) và (0; +∞)
• c) y = (x - 1)(x² + 3x + 2) trên (-∞; -2) và (-1; 1)

Hướng dẫn giải:

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm y' của hàm số.
2. Tìm các điểm mà y' = 0 hoặc y' không xác định. Đây là các điểm tới hạn của hàm số.
3. Xác định dấu của y' trên các khoảng xác định của hàm số.
4. Kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng đó. Nếu y' > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu y' < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Giải chi tiết:

a) y = x³ - 3x + 2

y' = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)

y' = 0 khi x = 1 hoặc x = -1

Xét khoảng (-∞; -1): Chọn x = -2, y' = 3((-2)² - 1) = 9 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên (-∞; -1).

Xét khoảng (1; +∞): Chọn x = 2, y' = 3(2² - 1) = 9 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên (1; +∞).

b) y = x⁴ - 4x² + 4

y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2)

y' = 0 khi x = 0, x = √2, hoặc x = -√2

Xét khoảng (-∞; -√2): Chọn x = -2, y' = 4(-2)((-2)² - 2) = -16 < 0. Vậy hàm số nghịch biến trên (-∞; -√2).

Xét khoảng (-√2; 0): Chọn x = -1, y' = 4(-1)((-1)² - 2) = 4 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên (-√2; 0).

Xét khoảng (0; √2): Chọn x = 1, y' = 4(1)(1² - 2) = -4 < 0. Vậy hàm số nghịch biến trên (0; √2).

Xét khoảng (√2; +∞): Chọn x = 2, y' = 4(2)(2² - 2) = 16 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên (√2; +∞).

c) y = (x - 1)(x² + 3x + 2)

y = (x - 1)(x + 1)(x + 2) = (x - 1)(x² + 3x + 2) = x³ + 3x² + 2x - x² - 3x - 2 = x³ + 2x² - x - 2

y' = 3x² + 4x - 1

y' = 0 khi x = (-4 ± √(16 + 12))/6 = (-4 ± √28)/6 = (-4 ± 2√7)/6 = (-2 ± √7)/3

x₁ = (-2 - √7)/3 ≈ -1.5486, x₂ = (-2 + √7)/3 ≈ 0.2153

Việc xét dấu y' trên các khoảng (-∞; x₁), (x₁; x₂), và (x₂; +∞) sẽ cho ta kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng đó. (Việc xét dấu này khá phức tạp và cần tính toán cẩn thận).

Kết luận:

Bài 5 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xét tính đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững các bước giải và áp dụng đúng các định lý sẽ giúp học sinh giải quyết bài tập một cách hiệu quả.

Loigiai.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.