Bài 3 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh, trục đối xứng và các điểm đặc biệt của hàm số bậc hai để giải quyết các bài toán cụ thể.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Tính các giá trị lượng giác (nếu có) có mỗi góc sau:
Đề bài
Tính các giá trị lượng giác (nếu có) có mỗi góc sau:
a) \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
b) \(\frac{\pi }{3}+\left( 2k+1 \right)\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
c) \(k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
d) \(\frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in Z)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\\\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\tan \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,} \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,} \right)}} = \sqrt 3 \\\cot \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,} \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\frac{\pi }{3}+\left( 2k+1 \right)\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
$ \cos \left[\frac{\pi}{3}+(2 \mathrm{k}+1) \pi\right]=\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi+2 \mathrm{k} \pi\right)=\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)=-\cos \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}$
$\sin \left[\frac{\pi}{3}+(2 \mathrm{k}+1) \pi\right]=\sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi+2 \mathrm{k} \pi\right)=\sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)=-\sin \frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan \left[\frac{\pi}{3}+(2 \mathrm{k}+1) \pi\right]=\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$;
$\tan \left[\frac{\pi}{3}+(2 \mathrm{k}+1) \pi\right]=\cot \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
c)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {k\pi \,} \right) = \left[ \begin{array}{l} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;k = 2n + 1\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;k = 2n\,\,\,\end{array} \right.\\\sin \left( {k\pi \,} \right) = 0\\\tan \left( {k\pi \,} \right) = \frac{{\sin \left( {k\pi \,\,} \right)}}{{\cos \left( {k\pi \,\,} \right)}} = 0\\\cot \left( {k\pi \,\,} \right)\end{array}\)
d)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 0\\\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = \left[ \begin{array}{l}\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\, = - 1\,\,\,\,\,\,\,;k = 2n + 1\\\sin \left( {\frac{\pi }{2}\,} \right)\, = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;k = 2n\,\,\,\end{array} \right.\\\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right)\\\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,\,} \right) = 0\end{array}\)
Bài 3 yêu cầu xét hàm số f(x) = -2x2 + 4x + 1. Chúng ta sẽ tiến hành phân tích và giải quyết từng phần của bài toán.
Hàm số f(x) = -2x2 + 4x + 1 có dạng f(x) = ax2 + bx + c. Do đó:
Hoành độ đỉnh của parabol là x0 = -b / (2a) = -4 / (2 * -2) = 1.
Tung độ đỉnh của parabol là y0 = f(x0) = f(1) = -2 * (1)2 + 4 * (1) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3.
Vậy, đỉnh của parabol là I(1; 3).
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = x0 = x = 1.
Vì a = -2 < 0, parabol có hướng mở xuống. Do đó:
Để tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0, ta giải phương trình -2x2 + 4x + 1 = 0.
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
Δ = b2 - 4ac = 42 - 4 * (-2) * 1 = 16 + 8 = 24.
x1 = (-b + √Δ) / (2a) = (-4 + √24) / (2 * -2) = (-4 + 2√6) / -4 = 1 - √6 / 2.
x2 = (-b - √Δ) / (2a) = (-4 - √24) / (2 * -2) = (-4 - 2√6) / -4 = 1 + √6 / 2.
Vậy, phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 - √6 / 2 và x2 = 1 + √6 / 2.
Để tìm giá trị của x sao cho f(x) = -1, ta giải phương trình -2x2 + 4x + 1 = -1.
Tương đương với -2x2 + 4x + 2 = 0.
Chia cả hai vế cho -2, ta được x2 - 2x - 1 = 0.
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
Δ = b2 - 4ac = (-2)2 - 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8.
x1 = (-b + √Δ) / (2a) = (2 + √8) / (2 * 1) = (2 + 2√2) / 2 = 1 + √2.
x2 = (-b - √Δ) / (2a) = (2 - √8) / (2 * 1) = (2 - 2√2) / 2 = 1 - √2.
Vậy, phương trình f(x) = -1 có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 + √2 và x2 = 1 - √2.
Thông qua việc giải chi tiết Bài 3 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều, chúng ta đã củng cố kiến thức về hàm số bậc hai, bao gồm việc xác định các yếu tố quan trọng như a, b, c, đỉnh, trục đối xứng, khoảng đồng biến, nghịch biến và tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0 và f(x) = -1. Việc nắm vững những kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học Toán 11.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
