Bài 3 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Bài 3 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải chi tiết

Bài 3 yêu cầu chúng ta xét tính liên tục của hàm số tại một điểm cho trước. Để giải bài này, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa về tính liên tục của hàm số tại một điểm. Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu:

1. Hàm số f(x) xác định tại x₀, tức là f(x₀) có nghĩa.
2. Tồn tại giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀.
3. Giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀ bằng giá trị của hàm số tại x₀, tức là lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

Để chứng minh một hàm số không liên tục tại một điểm, ta chỉ cần chứng minh một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn.

Phân tích bài toán cụ thể

Trong bài 3 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều, chúng ta thường gặp các hàm số được định nghĩa theo từng khoảng hoặc có chứa giá trị tuyệt đối. Việc xét giới hạn trái và giới hạn phải tại điểm nghi ngờ là rất quan trọng. Nếu giới hạn trái và giới hạn phải không tồn tại hoặc không bằng nhau, thì hàm số không liên tục tại điểm đó.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số f(x) được định nghĩa như sau:

f(x) = { x², nếu x < 1; 2x - 1, nếu x ≥ 1 }

Để xét tính liên tục của f(x) tại x = 1, ta cần tính giới hạn trái và giới hạn phải của f(x) khi x tiến tới 1:

• Giới hạn trái: lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1² = 1
• Giới hạn phải: lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1
• Giá trị của hàm số tại x = 1: f(1) = 2(1) - 1 = 1

Vì lim_x→1^- f(x) = lim_x→1⁺ f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Các dạng bài tập thường gặp

Các bài tập về tính liên tục của hàm số thường yêu cầu:

• Xác định xem hàm số có liên tục tại một điểm cho trước hay không.
• Tìm các giá trị của tham số để hàm số liên tục tại một điểm.
• Vận dụng định nghĩa về tính liên tục để giải các bài toán thực tế.

Mẹo giải bài tập

• Luôn kiểm tra xem hàm số có xác định tại điểm cần xét hay không.
• Tính giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại điểm đó.
• So sánh giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị của hàm số tại điểm đó.
• Sử dụng các tính chất của giới hạn để đơn giản hóa bài toán.

Bài tập tương tự

Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về tính liên tục của hàm số, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều và các tài liệu tham khảo khác.

Kết luận

Bài 3 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ về tính liên tục của hàm số. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các phương pháp giải bài tập về tính liên tục là rất cần thiết để học tốt môn Toán 11.