Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học giải tích hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải quyết.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + a}&{{\rm{ }}x < 2}\\4&{{\rm{ }}x = 2}\\{ - 3x + b}&{{\rm{ }}\,x > 2}\end{array}} \right.\)
Đề bài
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + a}&{{\rm{ }}x < 2}\\4&{{\rm{ }}x = 2}\\{ - 3x + b}&{{\rm{ }}\,x > 2}\end{array}} \right.\)
a) Với \(a = 0,b = 1\), xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 2\).
b) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại \(x = 2\) ?
c) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
- Các hàm đa thức liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Lời giải chi tiết
Với a = 0, b = 1, hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x}&{{\rm{ }}x < 2}\\4&{{\rm{ }}x = 2}\\{ - 3x + 1}&{{\rm{ }}\,x > 2}\end{array}} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + 1} \right) = - 3.2 + 1 = - 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x} \right) = 2.2 = 4\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\end{array}\)
Do đó không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\)
Vậy hàm số không liên tục tại x = 2.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + b} \right) = - 3.2 + b = - 6 + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x + a} \right) = 2.2 + a = 4 + a\\f\left( 2 \right) = 4\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)
\( \Leftrightarrow - 6 + b = 4 + a = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + a = 4\\ - 6 + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 10\end{array} \right.\)
Vậy với a = 0 và b = 10 thì hàm số liên tục tại x = 2.
c) Tập xác định của hàm số là: ℝ.
Với x < 2 thì \(f\left( x \right) = 2x + a\) là hàm đa thức nên liên tục.
Với x > 2 thì \(f\left( x \right) = -3x + b\) là hàm đa thức nên liên tục.
Do đó để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại x = 2.
Vậy với a = 0 và b = 10 thỏa mãn điều kiện.
Bài 5 thuộc chương trình giải tích hàm số, cụ thể là phần xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững các khái niệm về đạo hàm, khoảng đồng biến, nghịch biến và điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
Bài 5 yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên các khoảng được chỉ ra:
Để giải bài tập này, ta thực hiện các bước sau:
Đạo hàm của hàm số là: y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 và x = 2. Tuy nhiên, ta chỉ xét trên khoảng (-∞; 1), nên ta chỉ quan tâm đến x = 0.
Lập bảng xét dấu y' trên khoảng (-∞; 1):
| x | -∞ | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| y' | + | - | - |
| y | NB | ĐB | ĐB |
Vậy hàm số y = x3 - 3x2 + 2 đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 1).
Đạo hàm của hàm số là: y' = 4x3 - 12x2 + 8x = 4x(x2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0, x = 1 và x = 2. Tuy nhiên, ta chỉ xét trên khoảng (0; 2), nên ta quan tâm đến x = 1.
Lập bảng xét dấu y' trên khoảng (0; 2):
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y' | - | + | - |
| y | ĐB | NB | ĐB |
Vậy hàm số y = x4 - 4x3 + 4x2 + 1 nghịch biến trên khoảng (0; 1) và đồng biến trên khoảng (1; 2).
Khai triển hàm số, ta được: y = x3 + x2 + x - 3
Đạo hàm của hàm số là: y' = 3x2 + 2x + 1
Tính delta của phương trình y' = 0: Δ = 22 - 4 * 3 * 1 = -8 < 0
Vì Δ < 0 và hệ số a = 3 > 0, nên y' > 0 với mọi x. Do đó, hàm số y = x3 + x2 + x - 3 đồng biến trên khoảng (-∞; -1).
Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững các bước giải và áp dụng đúng các công thức sẽ giúp học sinh giải quyết bài tập một cách nhanh chóng và chính xác.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
