Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là bài tập thuộc chương trình Giải tích lớp 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về giới hạn của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững định nghĩa, tính chất của giới hạn và các phương pháp tính giới hạn thường gặp.
Tại loigiai.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau, biết số hạng tổng quát:
Đề bài
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, biết số hạng tổng quát:
a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng khái niệm, định nghĩa tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số.
Lời giải chi tiết
a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
Xét hiệu
\(u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}\)
\(= \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2 + 3n + 2} = \frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 3n + 2} > 0\)
Do đó \(u_n + 1 > u_n \quad (1)\)
Ta có: \(u_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}\)
Vì \(0 < \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2} \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) nên \( -\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{n+1} < 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{n+1} < 1 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)
hay \(\frac{1}{2} \leq u_n < 1\) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \quad (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn.
b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)
Xét hiệu
\(u_{n+1} - u_n = \frac{2}{5^{n+1}} - \frac{2}{5^n}\)
\(= \frac{2 - 2 \cdot 5}{5^{n+1}} = \frac{2 - 10}{5^{n+1}} = -\frac{8}{5^{n+1}} < 0\)
Do đó \(u_n + 1 < u_n \quad (3)\)
Vì \(0 < \frac{2}{5^n} \leq \frac{2}{5}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^* \quad (4)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.
Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều yêu cầu học sinh tính các giới hạn sau:
1. limx→2 (x2 - 3x + 2) / (x - 2)
Ta có: x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Do đó: limx→2 (x2 - 3x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = limx→2 (x - 1) = 2 - 1 = 1
2. limx→-1 (x3 + 1) / (x + 1)
Ta có: x3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1)
Do đó: limx→-1 (x3 + 1) / (x + 1) = limx→-1 (x + 1)(x2 - x + 1) / (x + 1) = limx→-1 (x2 - x + 1) = (-1)2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
3. limx→0 (√(x+1) - 1) / x
Ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử: (√(x+1) - 1) / x = [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = (x + 1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = x / [x(√(x+1) + 1)] = 1 / (√(x+1) + 1)
Do đó: limx→0 (√(x+1) - 1) / x = limx→0 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2
4. limx→1 (xn - 1) / (x - 1)
Áp dụng công thức: limx→a (xn - an) / (x - a) = n * an-1
Trong trường hợp này, a = 1, nên: limx→1 (xn - 1) / (x - 1) = n * 1n-1 = n
Giới hạn là một khái niệm cơ bản trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng các khái niệm khác như đạo hàm, tích phân. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về các khái niệm toán học và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.
Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về giới hạn, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều và các tài liệu tham khảo khác.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
