loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 64, 65, 66, 67 sách giáo khoa Toán 11 tập 2 chương trình Cánh Diều. Bài giải được các thầy cô giáo có kinh nghiệm biên soạn, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Học sinh có thể tham khảo để hiểu rõ hơn về kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra, thi cử.
a) Tính đạo hàm của hàm số (y = {x^2}) tại điểm ({x_0}) bất kì bằng định nghĩa
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\) tại điểm \({x_0}\) bất kì bằng định nghĩa
b) Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^n}\) tại điểm x bất kì
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{2.\ln x}} - {e^{2.\ln {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{2.\ln {x_0}}}.\left( {{e^{2\ln x - 2\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^2\left( {{e^{2.\ln x - 2\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^2\left( {2\ln x - 2\ln {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {\frac{x}{{{x_0}}}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{x}{{{x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{x}{{{x_0}}} - 1}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{x - {x_0}}}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{{x_0}}}\\ = 2x_0^2.\frac{1}{{{x_0}}} = 2x\\ \Rightarrow \left( {{x^2}} \right)' = 2x\end{array}\)b) Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^n}\) tại điểm x bất kì: \(y' = n.{x^{n - 1}}\)
Cho hàm số \(y = {x^{22}}\)
a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì
b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm \({x_0} = - 1\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để tính
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {{x^{22}}} \right)' = 22.{x^{21}}\)
b) Đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = - 1\) là: \(f'\left( { - 1} \right) = 22.{\left( { - 1} \right)^{21}} = - 22\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) tại điểm \({x_0} = 1\) bằng định nghĩa
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - x_0^{\frac{1}{2}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{\frac{1}{2}.\ln x}} - {e^{\frac{1}{2}.\ln {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{\frac{1}{2}.\ln {x_0}}}.\left( {{e^{\frac{1}{2}\ln x - \frac{1}{2}\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^{\frac{1}{2}}\left( {{e^{\frac{1}{2}.\ln x - \frac{1}{2}\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^{\frac{1}{2}}\left( {\frac{1}{2}\ln x - \frac{1}{2}\ln {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {\frac{x}{{{x_0}}}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{x}{{{x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{x}{{{x_0}}} - 1}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{x - {x_0}}}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{{x_0}}} = \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}.\frac{1}{{{x_0}}}\\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}{.1^{\frac{1}{2}}}.1 = \frac{1}{2}\end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \) tại điểm \({x_0} = 9\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để làm
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt x } \right)'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ \Rightarrow f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{{2.3}} = \frac{1}{6}\end{array}\)
Sử dụng kiết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\) tại điểm x bất kì bằng định nghĩa
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin x - \sin {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\,.\,\cos x\frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2.\frac{{x - {x_0}}}{2}.\cos \frac{{x + {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \,\cos \frac{{x + {x_0}}}{2} = \cos \frac{{2{x_0}}}{2} = \cos {x_0}\end{array}\)
Suy ra, \((\sin x)' = \cos x\)
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào ví dụ 3 để làm bài
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = \cos x\)
\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\)
Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = \cos x\) tại điểm x bất kì
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\cos x - \cos {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 2\,.\,\sin \frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 2.\frac{{x - {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x + {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \,\left( { - \sin \frac{{x + {x_0}}}{2}} \right) = - \sin \frac{{2{x_0}}}{2} = - \sin {x_0}\\ \Rightarrow f'(x) = (\cos x)' = - \sin x\end{array}\)
Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \({x_0} = 2\left( s \right)\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để tính
Lời giải chi tiết:
Vận tốc tức thời của dao động: \(f'\left( x \right) = - \sin x\)
Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \({x_0} = 2\left( s \right)\):\(f'\left( 2 \right) = - \sin \left( 2 \right) = 0,91\left( {m/s} \right)\)
Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm sô \(y = \tan x\) tại điểm x bất kì, \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,(k \in \mathbb{Z})\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\tan x - \tan {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\tan x - \tan {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\sin {x_0}}}{{\cos {x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\sin x\cos {x_0} - \sin {x_0}\cos x}}{{\cos x\cos {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\cos x\cos {x_0}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{x_0}}}\\ \Rightarrow f'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \tan x\) tại điểm \({x_0} = - \frac{\pi }{6}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để làm
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow f'\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( { - \frac{\pi }{6}} \right)}} = \frac{4}{3}\)
Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = \cot x\) tại điểm x bất kì, \(x \ne k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\cot x - \cot {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\cot x - \cot {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\cos {x_0}}}{{\sin {x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\cos x\sin {x_0} - \cos {x_0}\sin x}}{{\sin x\sin {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} - \frac{1}{{\sin x\sin {x_0}}} = - \frac{1}{{{{\sin }^2}{x_0}}}\\ \Rightarrow f'(x) = (\cot x)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cot x\) tại điểm \({x_0} = - \frac{\pi }{3}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để làm
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \Rightarrow f'\left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right)}} = - \frac{4}{3}\)
Sử dụng kết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = {e^x}\) tại điểm x bất kì bằng định nghĩa
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + {x_0}) - f(x)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{x + {x_0}}} - {e^x}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{x + {x_0}}} - {e^x}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}({e^{{x_0}}} - 1)}}{x} = {e^x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x_0}}} - 1}}{x} = {e^x}.1 = {e^x}\\ \Rightarrow f'(x) = {e^x}\end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {10^x}\) tại điểm \({x_0} = - 1\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để làm
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = {10^x}.\ln 10 \Rightarrow f'\left( { - 1} \right) = {10^{ - 1}}.\ln 10 = \frac{{\ln 10}}{{10}}\)
Sử dụng kết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln x\) tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln x - \ln {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \frac{x}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\ln \frac{x}{{{x_0}}}}}{{\ln e}}}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{{\ln e}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \frac{x}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\ = \frac{1}{{\ln e}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{x}{{{x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{{\ln e}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{x}{{{x_0}}} - 1}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{{\ln e}}.\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\frac{{x - {x_0}}}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{{{x_0}\ln e}}\\ \Rightarrow \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{{x\ln e}} = \frac{1}{x}\end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)= \log x\) tại điểm \({x_0} = \frac{1}{2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức vừa học để làm
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x.\ln 10}} \Rightarrow f'\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{{\frac{1}{2}.\ln 10}} = \frac{2}{{\ln 10}}\)
Mục 1 của chương trình Toán 11 tập 2 Cánh Diều tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Đây là một phần quan trọng, nền tảng cho việc học tập các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng giải bài tập trong mục này là vô cùng cần thiết.
Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng bài tập trong trang 64, 65, 66, 67 SGK Toán 11 tập 2 Cánh Diều, phân tích đề bài, áp dụng các công thức và phương pháp phù hợp để tìm ra lời giải chính xác nhất.
Các bài tập trên trang 64 thường xoay quanh việc tính đạo hàm của các hàm số đơn giản như hàm đa thức, hàm lượng giác. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và áp dụng một cách linh hoạt.
Trang 65 giới thiệu các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Đây là những quy tắc quan trọng, giúp học sinh có thể tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn.
Ví dụ, để tính đạo hàm của hàm số f(x) = u(x) + v(x), ta sử dụng quy tắc: f'(x) = u'(x) + v'(x).
Hàm hợp là một khái niệm quan trọng trong toán học. Để tính đạo hàm của hàm hợp, ta sử dụng quy tắc chuỗi: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).
Các bài tập trên trang 66 sẽ giúp học sinh làm quen và rèn luyện kỹ năng áp dụng quy tắc chuỗi.
Trang 67 là nơi để học sinh tổng hợp lại các kiến thức đã học và áp dụng vào giải quyết các bài tập phức tạp hơn. Các bài tập này thường đòi hỏi học sinh phải kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau.
Đạo hàm là một khái niệm nền tảng trong toán học, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế, kỹ thuật,... Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm sẽ giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về các bài tập trong mục 1 trang 64, 65, 66, 67 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều và đạt kết quả tốt trong học tập.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
