Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Cho hai hàm số \(f(x);\,g(x)\) xác định trên khoảng (a; b), cùng có đạo hàm tại điểm \({x_0} \in (a;b)\)

a) Xét hàm số \(h(x) = f(x) + g(x);\,\,x \in (a;b)\). So sánh

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h({x_0} + \Delta x) - h({x_0})}}{{\Delta x}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - g({x_0})}}{{\Delta x}}\)

b) Nêu nhận xét về \(h'({x_0})\) và \(f'({x_0}) + g'({x_0})\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\Delta x = x - {x_0},\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h({x_0} + \Delta x) - h({x_0})}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) + g(x) - f({x_0}) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\end{array}\)

b) \(h'({x_0})\) = \(f'({x_0}) + g'({x_0})\)

Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì.

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí đạo hàm của tích.

Lời giải chi tiết:

$f'\left( x \right)=x'\sqrt{x}+x\left( \sqrt{x} \right)'=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Cho hàm số \(y = f(u) = \sin u;\,\,u = g(x) = {x^2}\)

a) Bằng cách thay u bởi \({x^2}\) trong biểu thức \(\sin u\), hãy biểu thị giá trị của y theo biến số x.

b) Xác định hàm số \(y = f(g(x))\)

Phương pháp giải:

Thay biểu thức vào để tính

Lời giải chi tiết:

a) \(f\left( u \right) = \sin {x^2}\)

b) Hàm số: \(y = f\left( {{x^2}} \right) = \sin {x^2}\)

Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)=\tan x+\cot x$ tại điểm ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{3}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí đạo hàm của tổng và đạo hàm của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f'\left( x \right)=\tan 'x+\cot 'x=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$

Tại ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{3}$, $f'\left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{3}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{3}}=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$.

Hàm số $y={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)$ là hàm hợp của hai hàm số nào?

Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm của hàm hợp.

Lời giải chi tiết:

Đặt u = 3x + 1, ta có: $y={{\log }_{3}}u$.

Vậy $y={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)$ là hàm hợp của hai hàm số $y={{\log }_{3}}u$, u = 3x + 1.

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $y={{e}^{3x+1}}$

b) $y={{\log }_{3}}\left( 2x-3 \right)$

Phương pháp giải:

Dựa vào quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp

Lời giải chi tiết:

a) Đặt u = 3x + 1, y = log₃u. Khi đó: y’_u = e^u; u’_x= 3.

Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:

y’_x = y’_u.u’_x = e^u.3 = 3.e^{3x + 1}_.

b) Đặt u = 2x - 3, y = e^u. Khi đó: y’_u = $\frac{1}{u\ln 3}$; u’_x= 2.

Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:

y’_x = y’_u.u’_x = $\frac{1}{u\ln 3}$.2 = $\frac{2}{\left( 2x-3 \right)\ln 3}$_.