Bài 6 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Bài 6 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều yêu cầu tính các tích phân sau:

1. ∫₀^π/2 sin²x dx
2. ∫₀^π/4 (1 - sin²x) dx
3. ∫₀^π/3 cos²x dx
4. ∫₀^π/6 (1 - cos²x) dx

Lời giải chi tiết:

1. ∫₀^π/2 sin²x dx

Sử dụng công thức hạ bậc: sin²x = (1 - cos2x)/2

∫₀^π/2 sin²x dx = ∫₀^π/2 (1 - cos2x)/2 dx = 1/2 ∫₀^π/2 (1 - cos2x) dx

= 1/2 [x - (sin2x)/2]₀^π/2 = 1/2 [(π/2 - (sinπ)/2) - (0 - (sin0)/2)] = 1/2 * π/2 = π/4

2. ∫₀^π/4 (1 - sin²x) dx

Sử dụng công thức hạ bậc: 1 - sin²x = cos²x

∫₀^π/4 (1 - sin²x) dx = ∫₀^π/4 cos²x dx = ∫₀^π/4 (1 + cos2x)/2 dx = 1/2 ∫₀^π/4 (1 + cos2x) dx

= 1/2 [x + (sin2x)/2]₀^π/4 = 1/2 [(π/4 + (sin(π/2))/2) - (0 + (sin0)/2)] = 1/2 * (π/4 + 1/2) = π/8 + 1/4

3. ∫₀^π/3 cos²x dx

Sử dụng công thức hạ bậc: cos²x = (1 + cos2x)/2

∫₀^π/3 cos²x dx = ∫₀^π/3 (1 + cos2x)/2 dx = 1/2 ∫₀^π/3 (1 + cos2x) dx

= 1/2 [x + (sin2x)/2]₀^π/3 = 1/2 [(π/3 + (sin(2π/3))/2) - (0 + (sin0)/2)] = 1/2 * (π/3 + √3/4) = π/6 + √3/8

4. ∫₀^π/6 (1 - cos²x) dx

Sử dụng công thức hạ bậc: 1 - cos²x = sin²x

∫₀^π/6 (1 - cos²x) dx = ∫₀^π/6 sin²x dx = ∫₀^π/6 (1 - cos2x)/2 dx = 1/2 ∫₀^π/6 (1 - cos2x) dx

= 1/2 [x - (sin2x)/2]₀^π/6 = 1/2 [(π/6 - (sin(π/3))/2) - (0 - (sin0)/2)] = 1/2 * (π/6 - √3/4) = π/12 - √3/8

Kết luận:

Các kết quả tính tích phân như sau:

• ∫₀^π/2 sin²x dx = π/4
• ∫₀^π/4 (1 - sin²x) dx = π/8 + 1/4
• ∫₀^π/3 cos²x dx = π/6 + √3/8
• ∫₀^π/6 (1 - cos²x) dx = π/12 - √3/8

Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích phân và áp dụng các công thức hạ bậc một cách linh hoạt. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các chương trình Toán học nâng cao hơn.