Lý thuyết Căn bậc hai của một số thực không âm Toán 9 Cùng khám phá

1. Khái niệm về căn bậc hai của số thực không âm

Định nghĩa căn bậc hai

Lưu ý:

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau, trong đó số dương là \(\sqrt a \) và số âm là \( - \sqrt a \).

- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính nó, ta viết \(\sqrt 0 = 0\).

- Với hai số a và b không âm, nếu \(a < b\) thì \(\sqrt a < \sqrt b \).

Ví dụ:

+) \(\sqrt {81} = 9\) nên 81 có hai căn bậc hai là 9 và -9.

+) Căn bậc hai số học của 121 là \(\sqrt {121} = 11\).

2. Tính giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai của một số hữu tỉ bằng máy tính cầm tay

Ví dụ:

3. Căn bậc hai của một bình phương

Ví dụ: \(\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left| {1 + \sqrt 2 } \right| = 1 + \sqrt 2 \); \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}} = \left| { - 3} \right| = 3\).

4. Căn bậc hai của một tích

Ví dụ:

\(\sqrt {81.49} = \sqrt {81} .\sqrt {49} = 9.7 = 63\);

\(\sqrt {1,3} .\sqrt {10} .\sqrt {13} = \sqrt {1,3.10.13} = \sqrt {13.13} = \sqrt {{{13}^2}} = 13\).

Lưu ý: Tính chất trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm. Chẳng hạn với a, b, c là ba số không âm, ta có \(\sqrt {abc} = \sqrt a .\sqrt b .\sqrt c \).

5. Căn bậc hai của một thương

Ví dụ:

\(\sqrt {\frac{4}{{25}}} = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt {25} }} = \frac{2}{5}\);

\(\frac{{\sqrt {216} }}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {\frac{{216}}{6}} = \sqrt {36} = 6\).6. Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn bậc hai

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Ví dụ:

\(\sqrt {{7^2}.2} = 7\sqrt 2 \);

\(\sqrt {{{\left( { - 11} \right)}^2}.3} = \left| { - 11} \right|.\sqrt 3 = 11\sqrt 3 \).

Đưa thừa số vào trong dấu căn

Ví dụ:

\(2\sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt {{2^2}.\frac{1}{2}} = \sqrt 2 \);

\(4\sqrt {\frac{7}{4}} - \sqrt {28} = \sqrt {{4^2}.\frac{7}{4}} - \sqrt {28} = \sqrt {4.7} - \sqrt {28} = \sqrt {28} - \sqrt {28} = 0\).