Giải bài tập 2.31 trang 48 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 2.31 trang 48 SGK Toán 9 tập 1: Phương pháp và Lời giải Chi tiết

Bài tập 2.31 trang 48 SGK Toán 9 tập 1 yêu cầu chúng ta xét vị trí tương đối của đường thẳng y = (m-1)x + 2 và đường thẳng y = 2x - 1. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững kiến thức về hệ số góc và giao điểm của hai đường thẳng.

1. Xác định điều kiện để hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng y = a₁x + b₁ và y = a₂x + b₂ song song với nhau khi và chỉ khi a₁ = a₂ và b₁ ≠ b₂. Trong bài tập này, a₁ = m-1 và a₂ = 2. Do đó, để hai đường thẳng song song, ta cần có:

• m - 1 = 2
• m = 3

Khi m = 3, đường thẳng trở thành y = 2x + 2. Vì hệ số góc bằng 2 và tung độ gốc khác 2, nên hai đường thẳng song song.

2. Xác định điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau

Hai đường thẳng y = a₁x + b₁ và y = a₂x + b₂ trùng nhau khi và chỉ khi a₁ = a₂ và b₁ = b₂. Trong bài tập này, để hai đường thẳng trùng nhau, ta cần có:

• m - 1 = 2
• m = 3
• 2 = -1 (vô lý)

Do điều kiện 2 = -1 không thỏa mãn, nên hai đường thẳng không thể trùng nhau.

3. Xác định điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng y = a₁x + b₁ và y = a₂x + b₂ cắt nhau khi và chỉ khi a₁ ≠ a₂. Trong bài tập này, để hai đường thẳng cắt nhau, ta cần có:

• m - 1 ≠ 2
• m ≠ 3

Khi m ≠ 3, hai đường thẳng sẽ cắt nhau tại một điểm. Để tìm tọa độ giao điểm, ta giải hệ phương trình:

{ y = (m-1)x + 2 y = 2x - 1 }

Thay y = 2x - 1 vào phương trình đầu tiên, ta được:

2x - 1 = (m-1)x + 2

2x - (m-1)x = 3

(3-m)x = 3

x = 3 / (3-m) (với m ≠ 3)

Thay x = 3 / (3-m) vào y = 2x - 1, ta được:

y = 2 * (3 / (3-m)) - 1

y = 6 / (3-m) - 1

y = (6 - (3-m)) / (3-m)

y = (3+m) / (3-m) (với m ≠ 3)

4. Kết luận

Vậy, để hai đường thẳng y = (m-1)x + 2 và y = 2x - 1:

• Song song khi m = 3
• Không trùng nhau
• Cắt nhau khi m ≠ 3. Khi đó, tọa độ giao điểm là (3 / (3-m); (3+m) / (3-m))

5. Ví dụ minh họa

Nếu m = 0, hai đường thẳng trở thành y = -x + 2 và y = 2x - 1. Chúng cắt nhau tại điểm có tọa độ x = 1 và y = 1.

6. Mở rộng kiến thức

Bài tập này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đường thẳng và cách xác định vị trí tương đối của chúng. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng để giải các bài tập phức tạp hơn về hàm số và đồ thị.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh đã hiểu rõ cách giải bài tập 2.31 trang 48 SGK Toán 9 tập 1. Chúc các em học tập tốt!