Giải bài tập 4.1 trang 82 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính tỉ số lượng giác của các góc \(\alpha \) và \(\beta \) trong mỗi trường hợp ở Hình 4.13.

Lời giải chi tiết

Hình a: \(\Delta \)ADB vuông tại D nên \(A{D^2} + D{B^2} = A{B^2}\) (Định lí Pythagore).

Suy ra: \(A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {10^2} - {6^2} = 64\).

Do đó, \(AD = 8\).

Suy ra, \(\sin \alpha = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{{BD}}{{AB}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\), \(\tan \alpha = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\), \(\cot \alpha = \frac{{BD}}{{AD}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\).

\(\Delta \)ADC vuông tại D nên \(A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {9^2} + 64 = 145\) (Định lí Pythagore). Do đó, \(AC = \sqrt {145} \)

Do đó, \(\sin \beta = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{8}{{\sqrt {145} }}\), \(\cos \beta = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{9}{{\sqrt {145} }}\), \(\tan \beta = \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{8}{9}\), \(\cot \beta = \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{9}{8}\).

Hình b:

\(\Delta \)ADC vuông tại D nên \(A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {7^2} + {20^2} = 449\) (Định lí Pythagore). Do đó, \(AC = \sqrt {449} \).

Do đó, \(\sin \beta = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{20}}{{\sqrt {449} }}\), \(\cos \beta = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{7}{{\sqrt {449} }}\), \(\tan \beta = \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{20}}{7}\), \(\cot \beta = \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{7}{{20}}\).

\(\Delta \)ADB vuông tại D nên \(A{B^2} = A{D^2} + D{B^2} = {12^2} + {20^2} = 544\) (Định lí Pythagore). Do đó, \(AB = 4\sqrt {34} \).

Do đó, \(\sin \alpha = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{20}}{{4\sqrt {34} }} = \frac{{5\sqrt {34} }}{{34}}\), \(\cos \alpha = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{12}}{{4\sqrt {34} }} = \frac{{3\sqrt {34} }}{{34}}\), \(\tan \alpha = \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{20}}{{12}} = \frac{5}{3}\), \(\cot \alpha = \frac{{DB}}{{AD}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}\).

Hình c: \(\Delta \)ABC vuông tại A nên \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (Định lí Pythagore).

Do đó, \(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12\).

Suy ra, \(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}\), \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}\), \(\tan \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}\), \(\cot \alpha = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{12}}{5}\).

Vì \(\alpha + \beta = {90^o}\) nên \(\sin \beta = \cos \alpha = \frac{{12}}{{13}}\), \(\cos \beta = \sin \alpha = \frac{5}{{13}}\), \(\tan \beta = \cot \alpha = \frac{{12}}{5}\), \(\cot \beta = \tan \alpha = \frac{5}{{12}}\)