Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Tìm các giới hạn sau :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - 5} \over {{x^2} + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - 5} \over {{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x}{{{x^2}\left( {1 - {5 \over {{x^3}}}} \right)} \over {{x^2}\left( {1 + {1 \over {{x^2}}}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x.{{1 - {5 \over {{x^3}}}} \over {1 + {1 \over {{x^2}}}}} = + \infty \cr & \text{vì}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \,\text{và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {5 \over {{x^3}}}} \over {1 + {1 \over {{x^2}}}}} = 1 > 0 \cr} \)
Cách khác:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^4} - x} }}{{1 - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^4}\left( {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} }}{{1 - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2}\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x.\frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}}} \right]\end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}} = \frac{1}{{ - 2}} < 0\end{array}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x.\frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}}} \right) = + \infty \)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}}= + \infty \)
Cách khác:
Với mọi \(x < 0\), ta có \({{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}} = {{{x^2}\sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} } \over {1 - 2x}} = {{\sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} } \over {{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x}}}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} = 1,\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x}} \right) = 0\,\text{ và }\,{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x} > 0\) với mọi \(x < 0\)
Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}} = + \infty \)
Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm cách tính đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và các quy tắc khảo sát hàm số.
Trước khi bắt đầu giải bài toán, học sinh cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, hoặc vẽ đồ thị hàm số. Việc xác định chính xác yêu cầu của đề bài là bước quan trọng để đảm bảo giải đúng và đầy đủ.
Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x3 - 3x2 + 2. Ta thực hiện các bước sau:
Khi giải bài toán khảo sát hàm số, học sinh cần chú ý các điểm sau:
Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nắm vững kiến thức về khảo sát hàm số:
Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và thực hành thường xuyên, học sinh có thể giải quyết bài toán này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong học tập.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
