Loigiai.com.vn - Giải Câu 44 Trang 122 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = {{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)} \over {12}}\) (1)

Với mọi số nguyên \(n ≥ 2\)

Lời giải chi tiết

+) Với \(n = 2\) ta có:

\({1.2^2} = {{2\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {3.2 + 2} \right)} \over {12}} = 4\)

Vậy (1) đúng với \(n = 2\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right){k^2} = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

Ta có:

\(\eqalign{& {1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} + k.{\left( {k + 1} \right)^2} \cr & = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}} + k{\left( {k + 1} \right)^2} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12k{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{12}}\cr&= {{k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12\left( {k + 1} \right)} \right]} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} - 3k + 2k - 2 + 12k + 12} \right)}}{{12}}\cr& = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 11k + 10} \right)} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 6k + 5k + 10} \right)}}{{12}}\cr&= {{k\left( {k + 1} \right)\left[ { {3k\left( {k + 2} \right)} + 5\left( {k + 2} \right)} \right]} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {3k + 5} \right)}}{{12}}\cr& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k} \right)\left( {3k + 5} \right)} \over {12}} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 2} \right]} \over {12}} \cr} \)

Điều đó chứng tỏ (1) đúng với \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n ≥ 2\)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Sách bài tập Toán 11 trên nền tảng toán của chúng tôi! Bộ lý thuyết toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Lời giải chi tiết Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

a) Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Để tìm các điểm cực trị, ta cần tìm đạo hàm bậc nhất f'(x) và giải phương trình f'(x) = 0.

f'(x) = 3x² - 6x

Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.

Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng (-∞, 0), (0, 2), (2, +∞).

Trên khoảng (-∞, 0), f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Trên khoảng (0, 2), f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
Trên khoảng (2, +∞), f'(x) > 0, hàm số đồng biến.

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.

Giá trị cực đại là f(0) = 2.

Giá trị cực tiểu là f(2) = 2³ - 3(2²) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.

b) Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Dựa vào bảng xét dấu của f'(x) ở trên, ta có thể kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).

c) Vẽ đồ thị của hàm số.

Để vẽ đồ thị, ta cần xác định các điểm đặc biệt như:

Giao điểm với trục Oy: x = 0 => y = 2. Vậy đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0, 2).
Giao điểm với trục Ox: f(x) = 0 => x³ - 3x² + 2 = 0. Phương trình này có nghiệm x = 1 và x = -1. Vậy đồ thị cắt trục Ox tại các điểm (1, 0) và (-1, 0).
Các điểm cực trị: (0, 2) và (2, -2).

Dựa vào các điểm này và tính chất đơn điệu của hàm số, ta có thể vẽ được đồ thị của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải các bài tập về hàm số, đạo hàm, cần chú ý:

Tính đạo hàm chính xác.
Xác định đúng các khoảng đơn điệu và cực trị.
Vẽ đồ thị chính xác để hiểu rõ hơn về hàm số.

Ứng dụng của kiến thức

Kiến thức về hàm số, đạo hàm có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học kỹ thuật, như:

Tối ưu hóa các bài toán thực tế.
Nghiên cứu sự biến thiên của các hiện tượng tự nhiên.
Xây dựng các mô hình toán học.

Bài tập tương tự

Để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao hoặc trên các trang web học toán online.

Kết luận

Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về hàm số, đạo hàm và ứng dụng của chúng. loigiai.com.vn hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn học tốt môn Toán.