Loigiai.com.vn - Giải Câu 27 Trang 112 Sgk Hình Học 11 Nâng Cao Chi Tiết

Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11.

Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết.

Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Đề bài

Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a. Tính AB, IJ theo a và x.

b. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc ?

Lời giải chi tiết

Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao 1

a. Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ ⊥ CD.

Do mp(ACD) ⊥ mp(BCD) nên AJ ⊥ mp(BCD)

Mặt khác, AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra \(AB = AJ\sqrt 2 ,A{J^2} = {a^2} - {x^2}\) \(hay\,AJ = \sqrt {{a^2} - {x^2}} .\)

Vậy \(AB = \sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} \) với a > x

Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên \(JI = {1 \over 2}AB,\) tức là \(IJ = {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} .\)

+Tam giác ABC có AC = BC

nên tam giác ABC cân tại C,

có CI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:

CI ⊥ AB (3)

Tam giác ABD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên

DI ⊥ AB (4)

Hai mp (ABC) và (ABD) cắt nhau theo giao tuyến là AB (5)

Từ (3) , (4) và (5) suy ra góc giữa hai mp(ABC) và (ABD) là góc CID.

Vậy mp(ABC) ⊥ mp(ABD) \( \Leftrightarrow \widehat {CID} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow IJ = {1 \over 2}CD\) \(\Leftrightarrow {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} = {1 \over 2}.2x\) \(\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = 4{x^2} \Leftrightarrow {a^2} = 3{x^2}\)

\(\Leftrightarrow x = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Đề thi Toán lớp 11 trên nền tảng toán math của chúng tôi! Bộ toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Câu 27 Trang 112 SGK Hình Học 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Lời Giải

Bài toán Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học Hình học không gian, cụ thể là phần kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và định lý liên quan, bao gồm:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cách xác định và tính toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Các định lý về quan hệ vuông góc trong không gian.

Đề Bài Câu 27 Trang 112 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Biết SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)

Lời Giải Chi Tiết

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Xác định các yếu tố cần thiết: Xác định đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Tìm hình chiếu của đường thẳng SC lên mặt phẳng (ABCD): Hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC.
Tính độ dài các đoạn thẳng: Tính độ dài AC và SA.
Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng công thức sin(θ) = (SA/SC), trong đó θ là góc giữa SC và (ABCD).
Tính toán và kết luận: Tính giá trị của θ và đưa ra kết luận.

Ví Dụ Minh Họa

Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Biết SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

1. Hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC.

2. AC = a√2 (đường chéo hình vuông).

3. SC = √(SA² + AC²) = √(a² + (a√2)²) = a√3.

4. sin(θ) = SA/SC = a/(a√3) = 1/√3.

5. θ = arcsin(1/√3) ≈ 35.26°.

Vậy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là khoảng 35.26°.

Các Dạng Bài Tập Tương Tự

Ngoài bài toán Câu 27 trang 112, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh:

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong các hình chóp khác nhau.
Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
Tìm điều kiện để một đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc cho trước.

Mẹo Giải Bài Tập

Để giải các bài tập về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng một cách hiệu quả, bạn nên:

Vẽ hình chính xác và rõ ràng.
Xác định đúng hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.
Sử dụng các định lý và công thức liên quan một cách linh hoạt.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Tài Liệu Tham Khảo

Để nắm vững kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng, bạn có thể tham khảo:

Sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao.
Sách bài tập Hình học 11.
Các trang web học toán online uy tín như Loigiai.com.vn.

Kết Luận

Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng của kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng. Việc nắm vững các khái niệm và định lý liên quan, cùng với việc luyện tập thường xuyên, sẽ giúp bạn giải quyết bài toán này và các bài tập tương tự một cách dễ dàng và hiệu quả.