Loigiai.com.vn - Giải Câu 55 Trang 221 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học.

Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết. Lời giải chi tiết và dễ hiểu sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, chính xác, giúp các em học toán online hiệu quả.

Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai

Đề bài

Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai y = P(x) đã bị xóa đi, chỉ còn lại trục đối xứng ∆, điểm A thuộc (P) và tiếp tuyến tại A của (P) (h. 5.8). Hãy tìm P(x) và vẽ lại đồ thị (P).

Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao 1

Lời giải chi tiết

Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao 2

Đa thức phải tìm có dạng : \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Ta có: \(P'\left( x \right) = 2ax + b\)

Vì trục đối xứng (∆) có phương trình x = 1 nên : \( - {b \over {2a}} = 1\,\,\left( 1 \right)\)

Vì đồ thị (P) đi qua điểm A(3 ; 0) nên ta có P(3) = 0, tức là:

\(9a + 3b + c = 0\,\,\left( 2 \right)\)

Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A(3 ; 0) bằng \(\tan {\pi \over 4}\) nên ta có \(P’(3) = 1\), tức là :

\(6a + b = 1\,\left( 3 \right)\)

Giải hệ ba phương trình (1), (2) và (3) với ba ẩn số a, b và c, ta được :

\(\eqalign{ & a = {1 \over 4} \cr & b = - {1 \over 2} \cr & c = - {3 \over 4} \cr} \)

Vậy \(P\left( x \right) = {1 \over 4}{x^2} - {1 \over 2}x - {3 \over 4}\)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục toán 11 trên nền tảng toán của chúng tôi! Bộ toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Lời giải chi tiết Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm cách tính đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.

Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

Trước khi bắt đầu giải bài toán, cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số và yêu cầu tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến hoặc vẽ đồ thị hàm số. Việc xác định đúng yêu cầu là bước quan trọng để giải quyết bài toán một cách chính xác.

Các bước giải chi tiết

Tính đạo hàm cấp một (y'): Đây là bước đầu tiên và quan trọng nhất để khảo sát hàm số. Đạo hàm cấp một cho biết độ biến thiên của hàm số.
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm nghiệm. Các điểm nghiệm này là các điểm cực trị của hàm số.
Xác định loại điểm cực trị: Sử dụng đạo hàm cấp hai (y'') để xác định loại điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu). Nếu y'' > 0 tại một điểm, điểm đó là cực tiểu. Nếu y'' < 0 tại một điểm, điểm đó là cực đại.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Dựa vào dấu của đạo hàm cấp một để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Nếu y' > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu y' < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã tìm được (điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến) để vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x³ - 3x² + 2. Ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một: y' = 3x² - 6x
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
Xác định loại điểm cực trị: y'' = 6x - 6. Tại x = 0, y'' = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại. Tại x = 2, y'' = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: y' > 0 khi x < 0 hoặc x > 2, vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞). y' < 0 khi 0 < x < 2, vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).

Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý đến các điểm không xác định của hàm số (ví dụ: điểm gián đoạn, điểm không có đạo hàm). Các điểm này có thể ảnh hưởng đến kết quả khảo sát hàm số.

Ứng dụng của việc khảo sát hàm số

Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Dựa vào các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Giải các bài toán tối ưu hóa: Sử dụng đạo hàm để tìm các điểm tối ưu của một hàm số, chẳng hạn như tìm kích thước tối ưu của một vật thể để đạt được thể tích lớn nhất hoặc diện tích nhỏ nhất.
Phân tích các hiện tượng tự nhiên và kinh tế: Sử dụng hàm số để mô tả các hiện tượng tự nhiên và kinh tế, và sử dụng đạo hàm để phân tích sự thay đổi của các hiện tượng này.

Tổng kết

Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số. Việc nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và thực hành giải nhiều bài tập khác nhau sẽ giúp các em giải quyết bài toán này một cách hiệu quả và tự tin.