Câu 25 Trang 205 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.

loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y = {x^2}\) , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1).

Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x₀ để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).

Lời giải chi tiết

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2}\) và gọi M₀ là điểm thuộc (P) với hoành độ x₀. Khi đó tọa độ của điểm M₀ là \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\,hay\,\left( {{x_0};x_0^2} \right)\)

Cách 1 : Ta có: \(y’ = 2x\). Phương trình tiếp điểm của (P) tại điểm M₀ là

\(y = 2{x_0}\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 \Leftrightarrow y = 2{x_0}x - x_0^2\)

Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1) nên ta có :

\( - 1 = 2{x_0}.0 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1\)

+ Với x₀ = 1 thì f(x₀) = 1, f ’(x₀) = 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

\(y = 2\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\)

+ Với x₀ = -1 thì f(x₀) = 1, f ’(x₀) = -2

và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

\(y = - 2\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = - 2x - 1\)

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua

A với các phương trình tương ứng là: \(y = ±2x – 1\)

Cách 2 : Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0 ; -1) với hệ số góc k là :

\(y = kx - 1\)

Để (d) tiếp xúc (P) tại điểm M₀ điều kiện cần và đủ là:

\(\left\{ {\matrix{ {f\left( {{x_0}} \right) = k{x_0} - 1} \cr {f'\left( {{x_0}} \right) = k} \cr } } \right.\,hay\,\left\{ {\matrix{ {x_0^2 = k{x_0} - 1} \cr {2{x_0} = k} \cr } } \right.\)

Khử x₀ từ hệ này ta tìm được \(k = ±2\).

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(0 ; -1) với các phương trình là :

\(y = \pm 2x - 1\)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Đề thi Toán lớp 11 trên nền tảng học toán của chúng tôi! Bộ toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Lời giải chi tiết Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm cách tính đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.

Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

Trước khi bắt đầu giải bài toán, cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, hoặc vẽ đồ thị hàm số. Việc xác định đúng yêu cầu là bước quan trọng để giải quyết bài toán một cách chính xác.

Các bước giải bài toán

Tính đạo hàm cấp một (y'): Đây là bước đầu tiên và quan trọng nhất để khảo sát hàm số. Đạo hàm cấp một cho biết độ dốc của tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đồ thị hàm số.
Tìm các điểm cực trị: Các điểm cực trị là các điểm mà tại đó đạo hàm cấp một bằng 0 hoặc không tồn tại. Để xác định các điểm cực trị, cần giải phương trình y' = 0 và kiểm tra điều kiện đạo hàm đổi dấu.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Khoảng đồng biến là khoảng mà trên đó đạo hàm cấp một dương, và khoảng nghịch biến là khoảng mà trên đó đạo hàm cấp một âm. Để xác định các khoảng này, cần xét dấu đạo hàm cấp một trên từng khoảng xác định của hàm số.
Tìm cực đại, cực tiểu: Sử dụng đạo hàm cấp hai (y'') để xác định cực đại và cực tiểu. Nếu y'' < 0 tại một điểm cực trị, thì điểm đó là điểm cực đại. Nếu y'' > 0 tại một điểm cực trị, thì điểm đó là điểm cực tiểu.
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã tìm được, vẽ đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số giúp hình dung rõ hơn về tính chất của hàm số và các điểm cực trị.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x³ - 3x² + 2. Ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một: y' = 3x² - 6x
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 và x = 2.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Xét dấu y' trên các khoảng (-∞, 0), (0, 2), và (2, +∞). Ta thấy y' > 0 trên (-∞, 0) và (2, +∞), do đó hàm số đồng biến trên các khoảng này. y' < 0 trên (0, 2), do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Tìm cực đại, cực tiểu: Tính đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6. Tại x = 0, y'' = -6 < 0, do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0. Tại x = 2, y'' = 6 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Lưu ý khi giải bài toán

Khi giải bài toán về khảo sát hàm số, cần lưu ý một số điểm sau:

Đảm bảo nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm.
Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu.
Thực hiện các bước giải một cách cẩn thận và chính xác.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.

Ứng dụng của việc khảo sát hàm số

Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Giải các bài toán tối ưu hóa.
Phân tích và dự đoán xu hướng của các hiện tượng tự nhiên và kinh tế.

Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các bạn học sinh có thể tự tin giải quyết Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và các bài toán tương tự.