Loigiai.com.vn - Giải Câu 4 Trang 130 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

Cho dãy số (un)

LG a

Chứng minh rằng \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}\) với mọi n.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{{{3.3}^n}}}.\frac{{{3^n}}}{n}\cr &= {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} = {1 \over 3}\left( {1 + {1 \over n}} \right) \cr & \le {1 \over 3}(1+1)={2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr} \)

(Vì \(\forall n \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \le 1\))

LG b

Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\) với mọi n.

Lời giải chi tiết:

Rõ ràng \(u_n> 0, ∀n ≥ 1\).

Ta chứng minh \({u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}\)

Vậy (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có:

\({u_k} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^k}\)

Khi đó \(\frac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}\) (theo câu a)

\( \Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left( {{2 \over 3}} \right)^k} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) nên (1) đúng với mọi \(n\).

LG c

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lý:

+) Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\).

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

+) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\)

Mà \(\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0\) \( \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Học tốt Toán lớp 11 trên nền tảng tài liệu toán của chúng tôi! Bộ lý thuyết toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Lời giải chi tiết Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Vẽ đồ thị của hàm số.

Giải chi tiết

1. Tập xác định

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.

2. Đạo hàm

Ta có f'(x) = 3x² - 6x.

3. Tìm điểm cực trị

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Suy ra x = 0 hoặc x = 2.

Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:

Khoảng (-∞; 0): f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Khoảng (0; 2): f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
Khoảng (2; +∞): f'(x) > 0, hàm số đồng biến.

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = 2³ - 3(2²) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.

4. Khảo sát sự biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, f(0) = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, f(2) = -2.

5. Vẽ đồ thị

Đồ thị hàm số có các đặc điểm sau:

Điểm cực đại: (0; 2)
Điểm cực tiểu: (2; -2)
Cắt trục Oy tại điểm (0; 2)
Cắt trục Ox tại các điểm nghiệm của phương trình x³ - 3x² + 2 = 0. Phương trình này có nghiệm x = 1, x = -1 và x = 2.

Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Kết luận

Việc giải Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm, cực trị và sự biến thiên của hàm số. Loigiai.com.vn hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập.

Các bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và các tài liệu ôn tập khác.

Lưu ý

Khi giải các bài tập về hàm số, cần chú ý đến tập xác định, đạo hàm, cực trị và sự biến thiên của hàm số. Việc vẽ đồ thị hàm số cũng là một công cụ hữu ích để hiểu rõ hơn về hàm số.