Loigiai.com.vn - Giải Câu 7 Trang 100 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

Chúng tôi luôn cập nhật lời giải mới nhất và chính xác nhất cho tất cả các bài tập trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.

Chứng minh rằng :

Đề bài

Cho số thực \(x > -1\). Chứng minh rằng :

\({\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx\) (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Lời giải chi tiết

+) Với \(n = 1\), ta có \({\left( {1 + x} \right)^1} = 1 + x = 1 + 1.x\)

Như vậy, ta có (1) đúng khi \(n = 1\)

+) Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là:

\({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\)

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\).

Thật vậy, từ giả thiết \(x > -1\) nên \((1+x)>0\)

Theo giả thiết qui nạp, ta có : \({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\) (2)

Nhân hai vế của (2) với \((1+x)\) ta được:

\(\eqalign{& {\left( {1 + x} \right)^{k + 1}} \ge \left( {1 + x} \right)\left( {1 + kx} \right) \cr & = 1 + x + kx + k{x^2}\cr&= 1 + \left( {k + 1} \right)x + k{x^2} \cr&\ge 1 + \left( {k + 1} \right)x \cr} \)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Sách giáo khoa Toán 11 trên nền tảng môn toán của chúng tôi! Bộ toán trung học phổ thông bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Lời giải chi tiết Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

1. Tập xác định của hàm số

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là tập số thực, tức là D = ℝ.

2. Tính đạo hàm f'(x)

Để tính đạo hàm f'(x), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm đa thức:

f'(x) = 3x² - 6x

3. Tìm các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định:

Khi x < 0, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Khi 0 < x < 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
Khi x > 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.

Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.

Giá trị cực đại là f(0) = 2.

Giá trị cực tiểu là f(2) = 2³ - 3(2²) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.

4. Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Dựa vào dấu của f'(x) và các điểm cực trị, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, với giá trị là 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, với giá trị là -2.

5. Vẽ đồ thị hàm số

Để vẽ đồ thị hàm số, ta cần xác định các điểm đặc biệt như:

Giao điểm với trục Oy: f(0) = 2.
Giao điểm với trục Ox: x³ - 3x² + 2 = 0. Phương trình này có nghiệm x = 1.
Điểm cực đại: (0, 2).
Điểm cực tiểu: (2, -2).

Dựa vào các điểm này và sự biến thiên của hàm số, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Kết luận

Qua lời giải chi tiết trên, hy vọng các em học sinh đã hiểu rõ cách giải Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.