Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết. Lời giải chi tiết và dễ hiểu sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, chính xác, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán.
Gọi (C) là đồ thị của hàm số
Biết tung độ tiếp điểm bằng 2
Giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x\) .Ta có \(2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x_0^2 = 1} \cr {x_0^2 = - 3\,\left( \text{loại} \right)} \cr } \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1} \right.\)
* Với x0 = 1 ta có \(f'\left( 1 \right) = {4.1^3} + 4.1 = 8\)
Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :
\(y - 2 = 8\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = 8x - 6\)
* Với x0 = -1 ta có \(f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) = - 8\)
Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :
\(y - 2 = - 8\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = - 8x - 6\)
Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành
Giải chi tiết:
Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x0 thỏa :
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x_0} = 0\,\,\left( {{y_0} = - 1} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : \(y - \left( { - 1} \right) = 0\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = - 1\)
Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = - {1 \over 8}x + 3\)
Giải chi tiết:
Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng \(y = - {1 \over 8}x + 3,\) nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :
\(\eqalign{ & y' = 8 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x - 8 = 0 \cr & \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)
Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là : \(y = 8x – 6\)
Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)
Giải chi tiết:
Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) của đồ thị (C) là :
\(\eqalign{ & y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) \cr & \Leftrightarrow y = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr} \)
Vì tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm A(0 ; -6) nên ta có :
\(\eqalign{ & - 6 = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr & \Leftrightarrow 3x_0^4 + 2x_0^2 - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow x_0^2 = 1\Leftrightarrow{x_0} = \pm 1 \cr} \)
Theo câu a, phương trình của hai tiếp tuyến cần phải tìm lần lượt là :
\(y = 8x - 6;\;y = - 8x -6\)
Cách 2 : Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6
Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho :
\(\left\{ {\matrix{ {f\left( x \right) = kx - 6} \cr {f'\left( x \right) = k} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {{x^4} + 2{x^2} - 1 = kx - 6} \cr {4{x^3} + 4x = k} \cr } } \right.\)
Khử k từ hệ trên ta được : \(3{x^4} + 2{x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Suy ra \(k = ± 8\).
Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là : \(y = 8x - 6;\;y = - 8x -6\)
Bài 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Thông thường, bài toán sẽ cho một hàm số cụ thể và yêu cầu:
Giả sử hàm số cho là: y = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Tập xác định: Hàm số xác định trên R.
Bước 2: Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x; y'' = 6x - 6
Bước 3: Điểm cực trị: Giải phương trình 3x2 - 6x = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2. Xét dấu y', ta thấy x = 0 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu.
Bước 4: Khoảng đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên (-∞, 0) và (2, +∞); nghịch biến trên (0, 2).
Bước 5: Điểm uốn: Giải phương trình 6x - 6 = 0, ta được x = 1. Điểm uốn là (1, 0).
Bước 6: Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.
Ngoài sách giáo khoa, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết bài toán Câu 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
