Giải Câu 15 Trang 142 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 15 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 15 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.

Tìm giới hạn của các dãy số (un) với

LG a

\({u_n} = {{{3^n} + 1} \over {{2^n} - 1}}\)

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho 3ⁿ

Lời giải chi tiết:

\({u_n} = \frac{{{3^n}\left( {1 + \frac{1}{{{3^n}}}} \right)}}{{{3^n}\left( {\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}} - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)}} = {{1 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \over {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}}}\)

\(\eqalign{& \lim \left[ {1 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \right] = 1 > 0\cr &\text{ và }\lim \left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \right] = 0;\cr &{{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{1 \over 3}}\right)}^n}} >0 \cr & \text{ nên }\,\lim {u_n} = + \infty \cr} \)

LG b

\({u_n} = {2^n} - {3^n}\)

Phương pháp giải:

Đặt 3ⁿra làm nhân tử chung và tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& {u_n} = {3^n}\left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1} \right] \cr & \lim {3^n} = + \infty\cr &\text{ và }\lim \left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1} \right] = - 1 < 0 \cr &\text{ nên }{{\mathop{\rm lim}\nolimits}\,u _n} = - \infty \cr} \)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 15 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục toán lớp 11 trên nền tảng toán math của chúng tôi! Bộ toán trung học phổ thông bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Giải Chi Tiết Câu 15 Trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 15 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm là yếu tố then chốt để giải quyết bài tập này.

Phân Tích Đề Bài

Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số cụ thể và yêu cầu:

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
Xác định các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Phương Pháp Giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất (y'). Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số.
Bước 3: Tìm các điểm cực trị. Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm nghiệm. Sau đó, xét dấu của y' để xác định loại điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
Bước 4: Tính đạo hàm bậc hai (y''). Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Bước 5: Xác định khoảng lồi, lõm và điểm uốn. Giải phương trình y'' = 0 để tìm các điểm nghiệm. Sau đó, xét dấu của y'' để xác định khoảng lồi, lõm và điểm uốn.
Bước 6: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến. Xét dấu của y' để xác định khoảng đồng biến (y' > 0) và khoảng nghịch biến (y' < 0).
Bước 7: Vẽ đồ thị hàm số. Dựa vào các thông tin đã tìm được, vẽ đồ thị hàm số.

Ví Dụ Minh Họa

Giả sử hàm số được cho là: y = x³ - 3x² + 2

Bước 1: Tập xác định: D = R

Bước 2: Đạo hàm bậc nhất: y' = 3x² - 6x

Bước 3: Tìm điểm cực trị:

3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Xét dấu y':

x < 0: y' > 0 (hàm số đồng biến)
0 < x < 2: y' < 0 (hàm số nghịch biến)
x > 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)

Vậy hàm số có cực đại tại x = 0, y(0) = 2 và cực tiểu tại x = 2, y(2) = -2

Bước 4: Đạo hàm bậc hai: y'' = 6x - 6

Bước 5: Xác định khoảng lồi, lõm và điểm uốn:

6x - 6 = 0 ⇔ x = 1

Xét dấu y'':

x < 1: y'' < 0 (hàm số lõm)
x > 1: y'' > 0 (hàm số lồi)

Vậy hàm số có điểm uốn tại x = 1, y(1) = 0

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý:

Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm chính xác.
Xét dấu đạo hàm một cách cẩn thận để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị.
Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác, chú ý đến các điểm cực trị, điểm uốn và khoảng đồng biến, nghịch biến.

Kết Luận

Câu 15 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bằng cách nắm vững phương pháp giải và thực hành thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.