Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chứng minh rằng
Đề bài
Chứng minh rằng dãy số \(\displaystyle (u_n)\) với \(\displaystyle {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\), chứng minh \(H<0\).
- Đánh giá \(u_{n}\) bị chặn dưới và bị chặn trên, tức là chỉ ra tồn tại các số thực \(m,M\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} \cr&= {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr } \)
\(\begin{array}{l}u_{n+1}-u_n\\= \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left[ {3\left( {n + 1} \right) + 2} \right]}}} \right) - \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}} \right)\\ = \frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{2}{3} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {3n + 2} \right) - 5\left( {3n + 5} \right)}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 15}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = - \frac{5}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\end{array}\)
\(\displaystyle ⇒ (u_n)\) là dãy số giảm
Ta lại có:
+) \(\frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} > 0,\forall n \in {N^*}\)
+) \(2n + 3 < 3n + 2,\forall n \in {N^*}\) vì \(2n + 3 - 3n - 2 = - n + 1 \le 0,\)\(\forall n \in {N^*}\)
Do đó \(\displaystyle 0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*\)
Vậy \(\displaystyle (u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.
Cách khác:
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\\ = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 3}}{{3\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{2n + 5}}{{3n + 5}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{\left( {2n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right) - \left( {2n + 3} \right)\left( {3n + 5} \right)}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{6{n^2} + 19n + 10 - 6{n^2} - 19n - 15}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 5}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\end{array}\)
Do đó \( (u_n)\) là dãy số giảm.
Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số, từ đó vẽ được đồ thị hàm số một cách chính xác.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số cụ thể và yêu cầu:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng các kiến thức và kỹ năng sau:
Giả sử hàm số được cho trong đề bài là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Xác định tập xác định
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Bước 2: Tính đạo hàm cấp nhất
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 3: Tìm các điểm cực trị
Giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Bước 4: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến
Xét dấu f'(x):
Bước 5: Xác định cực trị
Tại x = 0, f(0) = 2. Hàm số đạt cực đại tại điểm (0, 2).
Tại x = 2, f(2) = 23 - 3(22) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (2, -2).
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 có:
Dựa vào các thông tin trên, chúng ta có thể vẽ được đồ thị hàm số một cách chính xác.
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý đến việc kiểm tra lại các kết quả đã tính toán để đảm bảo tính chính xác. Ngoài ra, việc vẽ đồ thị hàm số cũng là một bước quan trọng để kiểm tra lại các kết quả đã tìm được.
loigiai.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách giải Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
