Loigiai.com.vn - Giải Câu 42 Trang 122 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

Hãy tìm ba số hạng đầu tiên

Đề bài

Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \({{148} \over 9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao 1

Sử dụng số hạng tổng quát của CSC: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Mở rộng: \({u_m} = {u_k} + \left( {m - k} \right)d\)

Định nghĩa CSN: \({u_n} = q{u_{n - 1}}\)

Lời giải chi tiết

Kí hiệu u₁, u₂, u₃ lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.

Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u₁, u₂ và u₃ tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.

Nếu \({u_1} = 0 \Rightarrow {u_2} = {u_3} = 0\) \( \Rightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} = 0 \ne \frac{{148}}{9}\) (mâu thuẫn)

Do đó \({u_1} \ne 0\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1}q = {u_1} + 3d\\{u_3} = {u_2}q = {u_2} + 4d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q - {u_1} = 3d\\{u_2}q - {u_2} = 4d\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {q - 1} \right) = 3d\,\,\,(1)\\{u_2}\left( {q - 1} \right) = 4d\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét hai trường hợp sau :

* Trường hợp 1 : q ≠ 1.

Khi đó (1) và (2) suy ra d ≠ 0 (do u₁≠ 0) và \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {4 \over 3}\)

Từ đó :

\(\eqalign{& {{148} \over 9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}.{{1 - {q^3}} \over {1 - q}} \cr & = {u_1}.{{1 - {{\left( {{4 \over 3}} \right)}^3}} \over {1 - {4 \over 3}}} = {u_1}.{{37} \over 9} \Rightarrow {u_1} = 4 \cr & \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = {{16} \over 3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = {{64} \over 9} \cr} \)

Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai \(d = {4 \over 9}.\)

* Trường hợp 2 : q = 1.

Khi đó \({u_1} = {u_2} = {u_3}\).

\( \Rightarrow \frac{{148}}{9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = 3{u_1}\)

\( \Rightarrow {u_1} = \frac{{148}}{{27}}\)

Ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0.

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là :

\({u_1} = 4,{u_2} = {{16} \over 3},{u_3} = {{64} \over 9}\) và \({u_1} = {u_2} = {u_3} = {{148} \over {27}}.\)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Giải bài tập Toán 11 trên nền tảng đề thi toán của chúng tôi! Bộ toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Giải chi tiết Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học Đại số và Giải tích lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu của hàm số.

Phân tích đề bài

Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Đề bài thường yêu cầu tìm cực trị, khoảng đơn điệu, hoặc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước. Việc hiểu rõ đề bài là bước quan trọng để lựa chọn phương pháp giải phù hợp.

Phương pháp giải

Để giải Câu 42 trang 122, ta thường áp dụng các bước sau:

Tính đạo hàm cấp nhất (y'): Đạo hàm cấp nhất của hàm số cho ta thông tin về độ dốc của tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đồ thị hàm số.
Tìm điểm dừng (x sao cho y' = 0): Các điểm dừng là các điểm mà tại đó tiếp tuyến có độ dốc bằng 0, có thể là cực đại, cực tiểu, hoặc điểm uốn.
Khảo sát dấu của y': Xác định khoảng mà y' > 0 (hàm số đồng biến) và khoảng mà y' < 0 (hàm số nghịch biến).
Tính đạo hàm cấp hai (y''): Đạo hàm cấp hai cho ta thông tin về độ lõm của đồ thị hàm số.
Xác định cực đại, cực tiểu: Sử dụng dấu của y'' tại các điểm dừng để xác định xem đó là cực đại hay cực tiểu.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x³ - 3x² + 2. Ta sẽ áp dụng các bước trên để giải quyết bài toán:

Bước 1: Tính đạo hàm cấp nhất

y' = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm điểm dừng

3x² - 6x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2

Bước 3: Khảo sát dấu của y'

Khi x < 0: y' > 0 (hàm số đồng biến)
Khi 0 < x < 2: y' < 0 (hàm số nghịch biến)
Khi x > 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)

Bước 4: Tính đạo hàm cấp hai

y'' = 6x - 6

Bước 5: Xác định cực đại, cực tiểu

Tại x = 0: y'' = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại, y(0) = 2
Tại x = 2: y'' = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu, y(2) = -2

Lưu ý khi giải bài tập

Trong quá trình giải bài tập, cần chú ý các điểm sau:

Kiểm tra kỹ điều kiện xác định của hàm số.
Sử dụng đúng các công thức đạo hàm.
Phân tích kết quả một cách cẩn thận để đưa ra kết luận chính xác.

Ứng dụng của việc khảo sát hàm số

Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng.
Xác định khoảng mà hàm số tăng hoặc giảm.
Phân tích sự thay đổi của một hiện tượng.

Kết luận

Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm và khảo sát hàm số. Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập.