Loigiai.com.vn - Giải Câu 54 Trang 221 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải Bài 54 Trang 221 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao

Chào mừng bạn đến với loigiai.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bài viết này sẽ tập trung vào việc giải Câu 54 trang 221, giúp bạn hiểu rõ phương pháp và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.

Chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách dễ hiểu, logic, phù hợp với trình độ của học sinh. Hãy cùng theo dõi và luyện tập để nắm vững kiến thức nhé!

Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số

Đề bài

Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số \(y = {1 \over {x - 1}}\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Lời giải chi tiết

Với mọi x ≠ 1, ta có : \(y' = - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{1 \over {{x_0} - 1}}} \right)\) (với \({x_0} \ne 1\) ) là : \(y = - {1 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {1 \over {{x_0} - 1}}\)

Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có

hoành độ x_A thỏa mãn : \({{{x_A} - {x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = {1 \over {{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1\)

và cắt trục tung tại điểm B có tung độ y_B là :

\({y_B} = {{{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + {1 \over {{x_0} - 1}} = {{2{x_0} - 1} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có:

\(\eqalign{ & {S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow {1 \over 2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 2 \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {3 \over 4} \cr} \)

Suy ra : \({y_0} = {1 \over {{3 \over 4} - 1}} = - 4.\) Vậy điểm phải tìm M_o có tọa độ là \(\left( {{3 \over 4}; - 4} \right)\)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Học tốt Toán lớp 11 trên nền tảng toán math của chúng tôi! Bộ lý thuyết toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Giải Chi Tiết Câu 54 Trang 221 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết một bài toán thực tế. Bài toán thường liên quan đến việc tìm điểm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số, hoặc ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán tối ưu.

Phân Tích Đề Bài và Xác Định Yêu Cầu

Trước khi bắt đầu giải, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu của bài toán. Điều này giúp chúng ta lựa chọn phương pháp giải phù hợp và tránh sai sót không đáng có. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số và yêu cầu tìm một giá trị cụ thể liên quan đến hàm số đó.

Phương Pháp Giải Chung

Để giải Câu 54 trang 221, chúng ta thường thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một của hàm số: Đạo hàm cấp một (f'(x)) cho biết độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm.
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng không. Đây là các điểm nghi ngờ là điểm cực trị.
Xác định loại điểm cực trị: Sử dụng đạo hàm cấp hai (f''(x)) để xác định xem các điểm cực trị là điểm cực đại hay cực tiểu. Nếu f''(x) > 0 thì là điểm cực tiểu, nếu f''(x) < 0 thì là điểm cực đại.
Khảo sát tính đơn điệu của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm cấp một để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Giải quyết yêu cầu cụ thể của bài toán: Sử dụng các kết quả đã tìm được để giải quyết yêu cầu cụ thể của bài toán, ví dụ như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.

Ví Dụ Minh Họa (Giả định một dạng bài toán cụ thể)

Giả sử đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Tìm điểm cực trị: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xác định loại điểm cực trị: f''(x) = 6x - 6. f''(0) = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại. f''(2) = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và đầu mút của đoạn: f(-1) = -6, f(0) = 2, f(2) = -2, f(3) = 2
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 2 (đạt được tại x = 0 và x = 3). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là -6 (đạt được tại x = -1).

Lưu Ý Quan Trọng

Luôn kiểm tra lại kết quả sau khi giải.
Hiểu rõ bản chất của đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số.
Luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng.

Các Dạng Bài Tập Liên Quan

Ngoài dạng bài tập tìm cực trị, Câu 54 trang 221 có thể xuất hiện dưới các dạng khác như:

Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
Giải các bài toán tối ưu (ví dụ: tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất với một diện tích bề mặt cho trước).
Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán vật lý.

Tài Liệu Tham Khảo

Để học tập và ôn luyện hiệu quả, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Các trang web học toán online uy tín.

Kết Luận

Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng trên, bạn sẽ tự tin giải quyết bài toán này và đạt kết quả tốt nhất trong học tập. Chúc bạn thành công!