Loigiai.com.vn - Giải Câu 24 Trang 111 Sgk Hình Học 11 Nâng Cao Chi Tiết

Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao

Giải Bài Tập Hình Học 11 Nâng Cao - Câu 24 Trang 111

Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết.

Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO₁ vuông góc với SC.

Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao 2

Vậy góc giữa hai mp(SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO₁ và DO₁.

Mặt khác OO₁ ⊥ BD, OO₁ < OC (vì OC là cạnh huyền của \(\Delta O{O_1}C\) vuông tại O1) mà OC = OB nên \(\widehat {B{O_1}O} > 45^\circ .\)

Tương tự \(\widehat {D{O_1}O} > 45^\circ \) tức \(\widehat {B{O_1}D} >90^\circ \)

Như vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc \(60^\circ \) khi và chỉ khi:

\(\widehat {B{O_1}D} =120^\circ \) \( \Leftrightarrow\) \(\widehat {B{O_1}O} = 60^\circ \) (vì ΔBO₁D cân tại O₁)

\( \Leftrightarrow BO = O{O_1}\tan 60^\circ \) \(\Leftrightarrow BO = O{O_1}\sqrt 3 \)

Ta có \(O{O_1} \bot SC\) nên \(\widehat {O{O_1}C} = {90^0}\)

Xét tam giác \(CO{O_1}\) vuông tại \({O_1}\) có:

\(O{O_1} = OC\sin \widehat {OC{O_1}} = OC\sin \widehat {ACS}\) \( = OC.{{SA} \over {SC}}\)

Như vậy : \(BO = O{O_1}\sqrt 3 \Leftrightarrow BO = \sqrt 3 .OC.{{SA} \over {SC}} \) \(\Leftrightarrow SC = \sqrt 3 .SA\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 .x \Leftrightarrow x = a\)

Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Giải bài tập Toán 11 trên nền tảng tài liệu toán của chúng tôi! Bộ toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Câu 24 Trang 111 SGK Hình Học 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Lời Giải

Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình Hình học không gian, cụ thể là phần về đường thẳng và mặt phẳng. Bài toán này thường yêu cầu học sinh chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, cần nắm vững các định nghĩa, tính chất và định lý liên quan.

I. Đề Bài Câu 24 Trang 111 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

(Đề bài cụ thể sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD).)

II. Phân Tích Bài Toán

Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cần chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng đó. Trong bài toán này, ta cần chứng minh SM vuông góc với AD và SM vuông góc với BC. Việc phân tích này giúp ta xác định hướng đi đúng đắn để giải quyết bài toán.

III. Lời Giải Chi Tiết

Bước 1: Xác định các yếu tố liên quan

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
SA vuông góc với (ABCD).
M là trung điểm của CD.

Bước 2: Chứng minh SM vuông góc với AD

Vì ABCD là hình vuông nên AD vuông góc với CD. Do SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với CD. Vậy CD vuông góc với (SAM). Suy ra CD vuông góc với SM. Mà M là trung điểm của CD nên SM vuông góc với AD.

Bước 3: Chứng minh SM vuông góc với BC

Tương tự như trên, vì ABCD là hình vuông nên BC vuông góc với CD. Do SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với CD. Vậy CD vuông góc với (SAM). Suy ra CD vuông góc với SM. Mà M là trung điểm của CD nên SM vuông góc với BC.

Bước 4: Kết luận

Vì SM vuông góc với AD và SM vuông góc với BC, mà AD và BC nằm trong mặt phẳng (ABCD) và không song song nên SM vuông góc với (ABCD).

IV. Các Dạng Bài Tập Tương Tự

Các bài tập tương tự thường yêu cầu học sinh:

Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

V. Mẹo Giải Toán Hình Học Không Gian

Vẽ hình chính xác: Hình vẽ là công cụ quan trọng để hiểu và giải quyết bài toán.
Nắm vững định nghĩa, tính chất, định lý: Đây là nền tảng để giải quyết mọi bài toán.
Phân tích bài toán một cách logic: Xác định các yếu tố đã cho, các yếu tố cần tìm và mối quan hệ giữa chúng.
Sử dụng các phương pháp chứng minh phù hợp: Ví dụ: phương pháp chứng minh bằng định nghĩa, phương pháp chứng minh bằng tính chất, phương pháp chứng minh bằng định lý.

VI. Luyện Tập Thêm

Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán, các em học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Loigiai.com.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều lời giải chi tiết và bài tập luyện tập để hỗ trợ các em trong quá trình học tập.

VII. Kết Luận

Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về việc chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán này sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự trong các kỳ thi.