Giải Câu 5 Trang 134 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.

loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

Tìm các giới hạn sau :

LG a

\(\displaystyle \lim \left( {2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đánh giá và giới hạn kẹp:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}, \forall n\) mà \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Và định nghĩa \(\lim \left( {{u_n} - L} \right) = 0\) thì \(\lim u_n=L\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\displaystyle {u_n} = 2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}\) \(\Rightarrow {u_n} - 2 = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}\)

Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{& \left| {{u_n} - 2} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}} \right|= {1 \over {n + 2}} < {1 \over n}\cr &\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \cr & \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 2 \cr} \)

LG b

\(\displaystyle \lim \left( {{{\sin 3n} \over {4n}} - 1} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đánh giá và giới hạn kẹp:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}, \forall n\) mà \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\displaystyle {u_n} = {{\sin 3n} \over {4n}} - 1\) \( \Rightarrow {u_n} + 1 = \dfrac{{\sin 3n}}{{4n}}\)

Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{& \left| {{u_n} + 1} \right| = \left| {{{\sin 3n} \over {4n}}} \right| \le {1 \over {4n}}\cr &\text{ và }\,\lim {1 \over {4n}} = 0 \cr & \Rightarrow \lim \left( {{u_n} + 1} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = - 1 \cr} \)

LG c

\(\displaystyle \lim {{n - 1} \over n}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \lim {{n - 1} \over n} = \lim \left( {1 - {1 \over n}} \right) \) \(\displaystyle = \lim 1 - \lim {1 \over n} = 1\)

LG d

\(\displaystyle \lim {{n + 2} \over {n + 1}}\)

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho \(n\) và sử dụng giới hạn \(\lim \dfrac{1}{n} = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \lim {{n + 2} \over {n + 1}} = \lim {{n\left( {1 + {2 \over n}} \right)} \over {n\left( {1 + {1 \over n}} \right)}} \) \(\displaystyle = \lim {{1 + {2 \over n}} \over {1 + {1 \over n}}} = {{\lim 1 + \lim {2 \over n}} \over {\lim 1 + \lim {1 \over n}}} \) \(\displaystyle = {{1 + 0} \over {1 + 0}} = 1\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}\lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}} = \lim \left( {\frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1}}} \right)\\ = \lim \left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)\\ = \lim 1 + \lim \frac{1}{{n + 1}}\\ = 1 + 0 = 1\end{array}\)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục toán 11 trên nền tảng soạn toán của chúng tôi! Bộ toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Phân tích chi tiết và Hướng dẫn Giải

Bài tập Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và các dấu hiệu xác định tính đơn điệu của hàm số.

I. Tóm tắt lý thuyết cần thiết

Trước khi đi vào giải bài tập cụ thể, chúng ta cùng ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:

Đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x), biểu thị tốc độ thay đổi của hàm số tại điểm đó.
Tính đơn điệu của hàm số:
- Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a, b) nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b).
- Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b).

II. Phân tích đề bài Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu xét tính đơn điệu của một hàm số cụ thể trên một khoảng xác định. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
Xác định các khoảng mà f'(x) xác định.
Giải bất phương trình f'(x) > 0 và f'(x) < 0 để tìm ra các khoảng mà hàm số đồng biến và nghịch biến.
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng xác định.

III. Ví dụ minh họa giải Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao (giả định một hàm số cụ thể)

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng (-∞, +∞). Hãy xét tính đơn điệu của hàm số.

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Xác định khoảng xác định: f'(x) xác định trên (-∞, +∞).
Giải bất phương trình:
- f'(x) > 0 ⇔ 3x² - 6x > 0 ⇔ 3x(x - 2) > 0 ⇔ x < 0 hoặc x > 2.
- f'(x) < 0 ⇔ 3x² - 6x < 0 ⇔ 3x(x - 2) < 0 ⇔ 0 < x < 2.
Kết luận:
- Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
- Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0, 2).

IV. Lưu ý khi giải Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Để đạt được kết quả tốt nhất khi giải bài tập này, học sinh cần lưu ý những điều sau:

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản.
Cẩn thận khi giải bất phương trình, đặc biệt là các bất phương trình bậc hai.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

V. Bài tập tương tự để luyện tập

Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số, học sinh có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!