Câu 28 Trang 211 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 28 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 28 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.

Tìm các giới hạn sau :

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 2x} \over {\cos 2x.\sin 5x}} \)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\sin 2x}}{{2x}}.\frac{{2x}}{{\cos 2x\sin 5x}}} \right] \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{{\cos 2x}}.\frac{{\sin 2x}}{{2x}}.\frac{{\frac{{2x}}{{5x}}}}{{\frac{{\sin 5x}}{{5x}}}}} \right] \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{2}{{5\cos 2x}}.\frac{{\sin 2x}}{{2x}}.\frac{1}{{\frac{{\sin 5x}}{{5x}}}}} \right] \) \( = \frac{2}{{5\cos 0}}.1.1 = \frac{2}{5}\)

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {{\cos }^2}x} \over {x\sin 2x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {{\cos }^2}x} \over {x\sin 2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{\sin }^2}x} \over {2x\sin x\cos x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over {2x\cos x}} \)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{{2\cos x}}.\frac{{\sin x}}{x}} \right] = \frac{1}{{2\cos 0}}.1 = \frac{1}{2}\)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x - \cos x} \over {1 - \sin x - \cos x}}\)

Phương pháp giải:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn khử dạng vô định.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x - \cos x} \over {1 - \sin x - \cos x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - \cos x} \right) + \sin x}}{{\left( {1 - \cos x} \right) - \sin x}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2\sin^2 {x \over 2} + 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}} \over {2{{\sin }^2}{x \over 2} - 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin \frac{x}{2}\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}}{{2\sin \frac{x}{2}\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2} - \cos {x \over 2}}} \cr & = \frac{{\sin 0 + \cos 0}}{{\sin 0 - \cos 0}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1 \cr} \)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 28 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục toán 11 trên nền tảng soạn toán của chúng tôi! Bộ toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Lời giải chi tiết Câu 28 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 28 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao yêu cầu học sinh tìm đạo hàm của hàm số và xác định các điểm cực trị. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản, cũng như các phương pháp tìm điểm cực trị của hàm số.

Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

Đề bài yêu cầu tìm đạo hàm f'(x) của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và xác định các điểm cực trị của hàm số. Để làm được điều này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng của hàm số.
Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định để xác định các điểm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa, ta có:

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Giải phương trình f'(x) = 0

Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được:

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2

Bước 3: Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định

Xét các khoảng:

Khoảng (-∞, 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0. Vậy f'(x) > 0 trên khoảng (-∞, 0).
Khoảng (0, 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0. Vậy f'(x) < 0 trên khoảng (0, 2).
Khoảng (2, +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0. Vậy f'(x) > 0 trên khoảng (2, +∞).

Dựa vào dấu của f'(x), ta có thể kết luận:

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-∞, 0).
Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2, +∞).

Kết luận

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 đạt cực đại tại x = 0, với giá trị cực đại là f(0) = 2.

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 đạt cực tiểu tại x = 2, với giá trị cực tiểu là f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.

Mở rộng và ứng dụng

Bài toán tìm đạo hàm và điểm cực trị có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học kỹ thuật. Ví dụ, trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tìm điểm tối ưu hóa lợi nhuận hoặc chi phí. Trong vật lý, đạo hàm được sử dụng để tính vận tốc và gia tốc của vật thể.