Loigiai.com.vn - Giải Câu 20 Trang 114 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học.

loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

Chúng tôi luôn cập nhật lời giải mới nhất, chính xác nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của bạn.

Trên tia Ox

Đề bài

Trên tia Ox lấy các điểm A₁, A₂, …, A_n, … sao cho với mỗi số nguyên dương n, OA_n = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OA_n, n = 1, 2, … . Kí hiệu u₁ là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA₁ và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu u_n là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OA_{n – 1}, nửa đường tròn đường kính OA_n và tia Ox (h 3.3). Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.

Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao 1

Lời giải chi tiết

Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao 2

Với \(n ≥ 2\) ta có :

Diện tích nửa đường tròn đường kính \(OA_n\) là: \({S_n} = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{{O{A_n}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{8}\pi {n^2}\)

Diện tích nửa đường tròn đường kính \(OA_{n-1}\) là: \({S_{n-1}} = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{{O{A_{n-1}}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{8}\pi {(n-1)^2}\)

Do đó,

\(\eqalign{& {u_n} ={S_n} - {S_{n-1}}\cr& = \frac{1}{8}\pi {n^2} - \frac{1}{8}\pi {\left( {n - 1} \right)^2} \cr & = {1 \over 8}\pi \left[ {\left( {{n^2} - {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right)} \right] \cr & = \frac{1}{8}\pi \left( {{n^2} - {n^2} + 2n - 1} \right)\cr&= {{\left( {2n - 1} \right)\pi } \over 8}\,\left( {n \ge 2} \right) \cr & \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {{2n + 1} \over 8}\pi - {{\left( {2n - 1} \right)} \over 8}\pi \cr&= {\pi \over 4},\forall n \ge 2 \cr} \)

Mặt khác

\({u_2} - {u_1} = {{3\pi } \over 8} - {\pi \over 8} = {\pi \over 4}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\pi \over 4}\;\forall n \in\mathbb N^*\)

Do đó (u_n) là cấp số cộng với công sai \(d = {\pi \over 4}.\)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Học tốt Toán lớp 11 trên nền tảng toán của chúng tôi! Bộ lý thuyết toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Giải chi tiết Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài toán Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào kiến thức về hàm số, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các kỹ năng giải toán liên quan.

Phân tích đề bài

Trước khi bắt đầu giải bài toán, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu chúng ta thực hiện một hoặc nhiều công việc sau:

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm của hàm số.
Tìm cực trị của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải chi tiết

Để giải Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số. Đạo hàm của hàm số là tốc độ thay đổi của hàm số theo biến x.
Bước 3: Tìm cực trị của hàm số. Cực trị của hàm số là các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Bước 4: Khảo sát sự biến thiên của hàm số. Khảo sát sự biến thiên của hàm số giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số, chẳng hạn như hàm số đồng biến, nghịch biến, lõm lên, lõm xuống.
Bước 5: Vẽ đồ thị của hàm số. Đồ thị của hàm số là biểu diễn hình học của hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số được cho là y = x³ - 3x² + 2. Chúng ta sẽ thực hiện các bước trên để giải bài toán:

Bước 1: Tìm tập xác định

Tập xác định của hàm số là R (tập hợp tất cả các số thực).

Bước 2: Tính đạo hàm

y' = 3x² - 6x

Bước 3: Tìm cực trị

Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2. Tính y'' = 6x - 6. Tại x = 0, y'' = -6 < 0, hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2. Tại x = 2, y'' = 6 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y = -2.

Bước 4: Khảo sát sự biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0) và (2, +∞). Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).

Bước 5: Vẽ đồ thị

Dựa vào các thông tin trên, chúng ta có thể vẽ được đồ thị của hàm số.

Lưu ý khi giải bài toán

Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán.
Nắm vững các khái niệm cơ bản và các kỹ năng giải toán liên quan.
Thực hiện các bước giải một cách cẩn thận và chính xác.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Ứng dụng của bài toán

Bài toán Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, chẳng hạn như trong việc tối ưu hóa các bài toán kinh tế, kỹ thuật, vật lý.