Loigiai.com.vn - Giải Câu 45 Trang 219 Sgk Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Tìm vi phân của mỗi hàm số sau :

LG a

\(y = {\tan ^2}3x - \cot 3{x^2}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức dy=y'dx.

Lời giải chi tiết:

\(y' = 2\tan 3x.\left( {\tan 3x} \right)'\) \( - \left( {3{x^2}} \right)'.\frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}3{x^2}}} \) \(= 2\tan 3x.\left( {3x} \right)'.\frac{1}{{{{\cos }^2}3x}}\) \( + 6x.\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right) \) \( = 6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) \) \( + 6x.\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right)\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow dy = y'dx \cr &= \left[ {6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) + 6x\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right)} \right]dx \cr} \)

LG b

\(y = \sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & y' = \frac{{\left( {{{\cos }^2}2x + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}\cr & = \frac{{2\cos 2x.\left( {\cos 2x} \right)'}}{{2\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}\cr &= {{2\cos 2x.\left( { - 2\sin 2x} \right)} \over {2\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }} \cr &= {{ - \sin 4x} \over {\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }} \cr & \Rightarrow dy = y'dx = - {{\sin4 x} \over {\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}dx \cr} \)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Học tốt Toán lớp 11 trên nền tảng đề thi toán của chúng tôi! Bộ lý thuyết toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Giải chi tiết Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm cách tính đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.

Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

Trước khi bắt đầu giải bài toán, cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, hoặc vẽ đồ thị hàm số. Việc xác định đúng yêu cầu là bước quan trọng để giải quyết bài toán một cách chính xác.

Các bước giải chi tiết

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một (y') của hàm số. Đây là bước cơ bản nhất để bắt đầu giải bài toán. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm đạo hàm của hàm số.
Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số. Để tìm các điểm cực trị, cần giải phương trình y' = 0. Các nghiệm của phương trình này là hoành độ của các điểm cực trị.
Bước 3: Xác định loại điểm cực trị. Sử dụng đạo hàm cấp hai (y'') để xác định loại điểm cực trị. Nếu y'' > 0 tại một điểm cực trị, thì đó là điểm cực tiểu. Nếu y'' < 0 tại một điểm cực trị, thì đó là điểm cực đại.
Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Dựa vào dấu của đạo hàm cấp một (y'), có thể xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Nếu y' > 0 trên một khoảng, thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu y' < 0 trên một khoảng, thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Bước 5: Vẽ đồ thị hàm số. Dựa vào các thông tin đã tìm được, có thể vẽ đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số sẽ cho thấy rõ các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và hình dạng tổng thể của hàm số.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x³ - 3x² + 2. Ta sẽ thực hiện các bước giải như sau:

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một: y' = 3x² - 6x
Bước 2: Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
Bước 3: Xác định loại điểm cực trị: Tính đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6. Tại x = 0, y'' = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại. Tại x = 2, y'' = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.
Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến: y' > 0 khi x < 0 hoặc x > 2, vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞). y' < 0 khi 0 < x < 2, vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Bước 5: Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý các điểm sau:

Kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán, chẳng hạn như tập xác định của hàm số.
Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách chính xác.
Phân tích kết quả một cách cẩn thận để đưa ra kết luận đúng đắn.

Ứng dụng của việc giải Câu 45 trang 219

Việc nắm vững phương pháp giải Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán cụ thể mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề. Đây là những kỹ năng quan trọng trong học tập và công việc sau này.

Tổng kết

Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập điển hình về khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Bằng cách thực hiện các bước giải chi tiết và nắm vững các kiến thức cơ bản, học sinh có thể giải quyết bài toán này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong học tập.